연산 증폭기의 증폭과 피드백: 이득 설계부터 슬루율(Slew Rate)까지

OP Amp의 증폭률과 전압 이득

OP Amp의 증폭 동작을 이해하려면 입력 전압에 대해 출력 전압이 얼마나 변하는지를 이득으로 정리해야 합니다. OP Amp의 전압 이득, 데시벨 표기, 오픈 루프 이득과 폐루프 이득의 차이는 반전 증폭 회로, 비반전 증폭 회로, 부귀환을 이해하기 위한 전제가 됩니다.

OP Amp 전압 이득의 정의

OP Amp를 사용한 증폭 회로에서는 입력 전압에 대해 출력 전압이 얼마나 커지는지를 전압 이득으로 나타냅니다. 전압 이득은 출력 전압을 입력 전압으로 나눈 값입니다. 입력 전압을 V_s, 출력 전압을 V_o, 전압 이득을 A_v라고 하면 다음과 같이 정의됩니다.

\(A_v = \displaystyle\frac{V_o}{V_s}[배]\)

예를 들어 A_v가 10배라면, 입력 전압에 대해 출력 전압의 크기가 10배가 된다는 뜻입니다. 이득을 전압비로 정의하면 데시벨 표기와 오픈 루프 이득, 폐루프 이득의 차이를 같은 기준으로 정리할 수 있습니다.

전압 이득을 데시벨(dB)로 나타내기 (A_V=20log₁₀ (V_O/V_S))

OP Amp의 전압 이득은 수십 배에서 수십만 배 이상까지 넓은 범위를 다룹니다. 따라서 이득을 배율 그대로 나타내는 것뿐 아니라 데시벨[dB]로 나타내기도 합니다. 전압 이득을 데시벨로 나타낼 때는 전압비의 상용대수에 20을 곱합니다. 예를 들어 OP Amp의 오픈 루프 이득이 100000배(105배)인 경우, 데시벨 표기는 다음과 같습니다.

\(20log_{10}(10\,^5) = 100 dB\)

오픈 루프 이득처럼 큰 전압 이득도 dB로 나타내면 자릿수를 줄여 비교할 수 있습니다. 전력비를 데시벨로 나타낼 때는 10을 곱하지만, 같은 저항 조건에서는 전력이 전압의 제곱에 비례하므로 전압비에는 20을 곱합니다. 즉 전압비는 10log10((VoVs)2) = 20log10(VoVs)로 볼 수 있습니다. 반전 증폭 회로처럼 전압 이득에 음의 부호가 붙는 경우에도 dB 표기에서는 일반적으로 이득의 크기를 나타내며, 위상 반전은 별도로 다룹니다. 이득, 출력 진폭, 주파수 특성을 읽을 때 필요한 관련 단위와 표기도 함께 정리해 둡니다.

(a) dB: 두 양의 비를 로그로 나타내는 단위입니다. 전력비에는 10배, 전압비에는 20배의 계수를 사용합니다.

\(dB = 10log_{10}(\displaystyle\frac{P_1}{P_2})\)（전력일 때）

\(dB = 20log_{10}(\displaystyle\frac{V_1}{V_2})\)（전압일 때）

(b) V_p-p: 피크 투 피크 전압. 파형의 최대 전압과 최소 전압의 차이를 나타냅니다. 0V를 중심으로 위아래가 대칭인 정현파에서는 V_p-p가 피크 전압의 2배가 됩니다. V_rms와는 의미가 다르므로 파형의 종류와 조건을 알 수 있을 때 환산합니다.

(c) V_rms: 실효값. 교류 파형을 같은 전력을 소비하는 직류값으로 바꿔 나타낸 값입니다. 정현파에서는 피크 전압을 √2로 나눈 값입니다.

\(V_{rms} = \displaystyle\frac{V_p}{√2}\)

(d) dBV: 1Vrms를 기준으로 한 전압 레벨입니다. 0dBV는 1Vrms를 나타냅니다.

\(0 dBV = 1V_{rms}\)

(e) dBm: 1mW를 기준으로 한 전력 레벨입니다. 전압으로 환산하려면 부하 저항이 필요하며, 50Ω계와 600Ω계에서는 같은 0dBm이라도 대응하는 전압이 다릅니다.

\(0 dBm = 0.224 V_{rms}\)（부하 50Ω일 때）

\(0 dBm = 0.775 V_{rms}\)（부하 600Ω일 때）

(f) oct: 옥타브를 나타내는 단위로, 주파수가 2배가 되는 폭을 1oct라고 합니다.
-6dB/oct는 주파수가 2배가 될 때마다 이득이 약 6dB 낮아진다는 뜻입니다.

(g) dec: 디케이드를 나타내는 단위로, 주파수가 10배가 되는 폭을 1dec라고 합니다.
-20dB/dec는 주파수가 10배가 될 때마다 이득이 20dB 낮아진다는 뜻입니다.
1dec는 약 3.322oct에 해당하므로 -6dB/oct는 실용상 거의 -20dB/dec와 같은 기울기로 취급됩니다.

(h) dB(데시벨) 계산 기본
dB값은 비를 로그로 나타내므로 곱셈과 나눗셈의 관계를 덧셈과 뺄셈으로 다루기 쉬워집니다. 전압비를 dB로 나타낼 때는 20log10, 전력비를 dB로 나타낼 때는 10log10을 사용합니다.

\(3dB≈1.41×≈√2\)

\(6dB≈2.00×\)

\(10dB≈3.16×\)

\(20dB≈10×\)

\(16 dB = 10 dB + 6 dB → 3.16 × 2 = 6.32×\)

오픈 루프 이득과 폐루프 이득의 차이

OP Amp의 이득에는 부귀환을 걸지 않은 상태의 오픈 루프 이득과, 부귀환을 건 회로 전체의 폐루프 이득이 있습니다. 오픈 루프 이득은 OP Amp 자체의 능력을 나타내는 값이고, 폐루프 이득은 실제 증폭 회로에서 사용하는 이득입니다.

오픈 루프 이득은 큰 값이지만 제품, 온도, 전원 전압, 주파수에 따라 변합니다. 또한 부귀환을 걸지 않은 상태에서는 아주 작은 입력 차이만으로도 출력이 포화되기 쉬워, 목표 증폭률로 안정적으로 사용할 수 없습니다. 반면 폐루프 이득은 귀환 회로를 포함한 증폭 회로 전체의 이득입니다. 부귀환을 사용하면 OP Amp 자체의 오픈 루프 이득이 아니라 주로 저항과 같은 외장 부품으로 이득을 정하기 쉬워집니다. 실제 설계에서는 폐루프 이득으로 필요한 증폭률을 설정하고, 오픈 루프 이득과 이득 대역폭 곱을 통해 그 설정이 필요한 주파수 범위에서 성립하는지 판단합니다. 반전 증폭 회로와 비반전 증폭 회로에서는 폐루프 이득이 저항비로 결정됩니다.

반전 증폭과 비반전 증폭의 이득 설정

반전 증폭 회로와 비반전 증폭 회로에서 폐루프 이득은 주로 외장 저항의 비로 결정됩니다.

반전 증폭 회로의 이득은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(A_v = -\displaystyle\frac{R_f}{R_{in}}\)

비반전 증폭 회로의 이득은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(A_v = 1 + \displaystyle\frac{R_f}{R_{in}}\)

여기서 R_f는 출력측에서 반전 입력측으로 되돌리는 귀환 저항입니다. R_in은 반전 증폭 회로에서 입력 신호에서 반전 입력 단자로 들어가는 저항입니다. R_g는 비반전 증폭 회로에서 반전 입력 단자와 기준 전위 사이에 들어가는 게인 설정 저항입니다.

반전 증폭 회로의 식에 붙는 마이너스 부호는 출력 신호의 위상이 입력 신호에 대해 반전된다는 뜻입니다. 비반전 증폭 회로에서는 입력 신호와 출력 신호의 위상이 같고, 이득은 1 이상이 됩니다. 실제 회로에서는 저항비로 설정한 이득에 더해 OP Amp의 동작 범위와 주파수 특성도 고려합니다.

OP Amp의 부귀환 시스템과 그 효과

OP Amp는 오픈 루프 이득이 높은 증폭기이지만, 단독으로 사용하면 이득 편차와 주파수 특성의 영향을 받기 쉽기 때문에 일반적으로 부귀환 회로를 구성하여 사용합니다. 부귀환을 사용하면 외장 소자로 설정한 귀환율에 따라 폐루프 이득을 정하기 쉬워지고, 이득 안정화, 대역폭 확대, 왜곡이나 출력측 오차 성분의 억제와 같은 효과를 얻을 수 있습니다. 부귀환의 전달 함수 모델을 사용하면 이러한 효과와 안정성상의 주의점을 함께 정리할 수 있습니다.

부귀환의 전달 함수 모델

OP Amp는 높은 오픈 루프 이득을 가진 증폭기이지만, 오픈 루프 상태 그대로 선형 증폭 회로로 사용하는 경우는 거의 없습니다. 오픈 루프 이득에는 제조 편차와 온도에 따른 변동이 있고, 주파수가 높아질수록 이득도 낮아집니다. 따라서 오픈 루프 상태로는 원하는 증폭률을 안정적으로 설정하고 필요한 대역에서 유지하기 어렵습니다. 일반적으로 출력의 일부를 입력측으로 되돌리는 부귀환을 사용하고, 귀환율로 폐루프 이득을 정합니다. 부귀환을 사용한 증폭 회로의 모델은 다음과 같습니다.

부귀환에 의한 이득 안정화, 대역폭 확대, 왜곡 억제

부귀환을 걸면 증폭 회로에서는 주로 다음과 같은 이점이 얻어집니다.

[부귀환 회로 구성에 따른 이점]

1. 1. 대역폭을 넓힌다
2. 2. 오픈 루프 이득의 편차가 폐루프 이득에 주는 영향을 줄인다
3. 3. 왜곡을 줄인다

1. 대역폭을 넓힌다

부귀환에 따른 폐루프 이득과 대역폭의 변화는 전달 함수로 나타낼 수 있습니다. A(s)를 주파수에 의존하는 오픈 루프 이득, β를 귀환율이라고 합니다.

\(\displaystyle\frac{V_o(s)}{V_{IN}(s)} = \displaystyle\frac{A(s)}{1 + βA(s)}\)

A(s): 주파수에 의존하는 OP Amp의 오픈 루프 이득β: 귀환율βA(s): 루프 이득1+βA(s): 부귀환에 의해 폐루프 이득과 출력측 오차 성분을 억제하는 계수

OP Amp의 오픈 루프 이득을 1차 지연의 전달 함수로 근사합니다. 이 근사에서는 저주파에서의 오픈 루프 이득을 A₀, 극의 각주파수를 ω₀로 두고, 부귀환에 따른 이득 저하와 대역폭 확대의 관계를 나타냅니다.

위 식의 관계를 도식화한 것이 위의 주파수 특성입니다. 저주파에서의 오픈 루프 이득을 A₀라고 하면, 부귀환을 걸었을 때의 폐루프 이득은 A01 + βA₀가 되어 오픈 루프 이득 A₀보다 작아집니다. 한편 1차 지연 근사가 성립하는 범위에서는 대역폭이 대략 ω₀에서 ω₀(1 + βA₀)까지 넓어집니다. 즉 부귀환은 이득을 낮추는 대신 안정적으로 사용할 수 있는 주파수 범위를 넓힐 수 있습니다.

2. 오픈 루프 이득 편차의 영향을 줄인다

오픈 루프 이득의 편차가 폐루프 이득에 주는 영향은 루프 이득의 크기에 따라 달라집니다. 저주파에서 루프 이득 βA₀가 충분히 커서 βA₀ >> 1이 성립하는 범위에서는 부귀환 회로의 이득을 1β로 근사할 수 있습니다. 이 조건에서는 폐루프 이득이 OP Amp의 오픈 루프 이득 자체보다 외장 소자로 정해지는 귀환율에 더 크게 의존합니다. 따라서 온도 특성이나 제조 편차로 오픈 루프 이득이 어느 정도 변동하더라도 폐루프 이득에 미치는 영향은 작아집니다. 반전 증폭 회로의 대역폭과 안정성은 신호 이득이 아니라 노이즈 게인으로 판단합니다.

\(\displaystyle\frac{V_o}{V_{IN}} = \displaystyle\frac{A_0}{1 + βA_0} = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{A_0} + β} ≈ \displaystyle\frac{1}{β}\)

3. 왜곡을 줄인다

다음 그림은 출력측에 나타나는 오차 요소를 포함한 귀환 회로를 나타냅니다. V_D는 OP Amp나 출력단에서 발생하고 루프 안에서 보정 대상이 되는 오차 요소를 뜻합니다. V_D에는 출력에 중첩되는 왜곡 성분이나 오차 전압 등이 포함됩니다. 다만 입력에 더해지는 노이즈나 외장 저항의 열 잡음까지 부귀환으로 단순히 줄일 수 있는 것은 아닙니다.

오른쪽 식은 오차 요소 V_D를 포함한 출력식을 나타냅니다. V_IN에서 출력으로 전달되는 성분은 A(s)1 + βA(s)로 나타내고, V_D의 성분은 11 + βA(s)로 억제됩니다. 따라서 충분한 루프 이득이 있는 주파수 범위에서는 루프 안에서 출력측에 나타나는 오차 성분이 작아집니다.

\(V_o(s) = \displaystyle\frac{A(s)}{1 + βA(s)} × V_{IN}(s) + \displaystyle\frac{1}{1 + βA(s)} × V_D\)

반면 부귀환 회로에는 다음과 같은 주의점이 있습니다. 부귀환은 이득과 오차를 개선하는 효과적인 방법이지만, OP Amp가 선형 동작 범위에 있고 충분한 위상 여유를 가지고 안정적으로 동작해야 합니다.

[부귀환 회로 구성에 따른 주의점]

1. 1. 폐루프 이득은 오픈 루프 이득보다 작아진다
2. 2. 위상 여유가 부족하면 발진이나 링잉이 생길 수 있다

또한 용량성 부하, 배선과 기판의 기생 성분, 귀환 저항값, 입력 커패시턴스 등에 의해 위상 여유가 낮아질 수 있습니다. 큰 신호를 다룰 때는 GBW로 추정하는 소신호 대역폭뿐 아니라 슬루율, 출력 진폭 범위, 부하 전류도 고려합니다.

부귀환은 오픈 루프 이득의 크기를 그대로 사용하는 것이 아니라 귀환율과 루프 이득을 통해 폐루프 이득, 대역폭, 오차 성분의 영향을 다루는 방법입니다. 다만 실제 회로에서는 위상 여유, 용량성 부하, 출력 진폭, 슬루율과 같은 제약도 받습니다. 소신호 대역폭을 추정하는 기준으로 이득 대역폭 곱(GBW)을 사용합니다.

이득 대역폭 곱(GBW)

이득 대역폭 곱(GBW)은 전압 귀환형 OP Amp에서 단일 극 근사가 성립하는 범위에 대해, 노이즈 게인(NG)과 소신호 대역폭의 관계를 추정하기 위한 기준입니다. 노이즈 게인을 NG, 대역폭을 BW라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(GBW ≈ NG × BW\)

또는

\(BW ≈ \displaystyle\frac{GBW}{NG}\)

비반전 증폭 회로에서는 NG가 폐루프 이득과 일치합니다. 반면 반전 증폭 회로에서는 신호 이득의 크기와 NG가 일치하지 않는 경우가 있으므로 대역폭과 안정성은 NG로 추정합니다. NG를 낮게 설정하면 대역폭은 넓어지고, NG를 높게 설정하면 대역폭은 좁아집니다.

다만 GBW에서 구한 대역폭은 소신호에서의 주파수 응답에 대한 기준이며, 모든 동작 조건에서 보증되는 상한은 아닙니다. 출력 진폭이 큰 경우에는 슬루율 때문에 파형의 추종 속도가 제한될 수 있습니다. 또한 용량성 부하나 기판의 기생 성분으로 위상 여유가 낮아질 수도 있으므로, 실제 회로에서는 데이터시트, 시뮬레이션, 실제 회로 평가를 함께 고려해 판단합니다.

OP Amp의 슬루율(대신호 속도 한계)

OP Amp의 출력은 입력 신호의 변화에 무제한으로 추종할 수 없습니다. 출력 전압이 단위 시간당 변화할 수 있는 비율은 슬루율로 나타내며, 교류 신호에서는 출력 가능한 진폭과 주파수의 상한에 관계됩니다. 슬루율의 정의와 측정 방법은 정현파 출력에 필요한 슬루율과 풀 파워 대역폭을 추정하기 위한 전제가 됩니다.

슬루율의 정의와 측정 회로

슬루율은 OP Amp의 출력 전압이 단위 시간당 얼마나 빠르게 변할 수 있는지를 나타내는 파라미터입니다. 출력 전압의 변화량을 ΔV, 그 변화에 걸린 시간을 Δt라고 하면 변화 속도는 ΔVΔt로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 1[V/µs]는 출력 전압을 1[µs]당 1[V] 변화시킬 수 있다는 뜻입니다. 이상적인 OP Amp라면 입력 신호가 급격히 변해도 출력은 즉시 추종합니다. 그러나 실제 OP Amp에서는 출력 전압이 변화할 수 있는 속도에 한계가 있습니다. 상승과 하강이 급격한 구형파 펄스를 입력하면 출력 파형은 순간적으로 변하지 않고 일정한 기울기를 가지고 변합니다. 이때 출력 전압의 최대 기울기가 슬루율입니다. 다음 그림은 슬루율의 정의를 나타냅니다.

출력 파형의 상승과 하강에서는 각각 전압 변화량과 변화 시간으로 슬루율을 구합니다.

\(SR_r = \displaystyle\frac{ΔV}{ΔT_r} \quad SR_f = \displaystyle\frac{ΔV}{ΔT_f}\)

여기서 ΔV는 출력 전압의 변화량, ΔT_r는 상승에 걸린 시간, ΔT_f는 하강에 걸린 시간입니다. 출력 전압의 변화량을 그 변화에 걸린 시간으로 나누면 출력 파형의 기울기를 구할 수 있습니다. 이 기울기가 상승 또는 하강 슬루율입니다. 데이터시트에서는 상승과 하강의 값이 다를 때 느린 쪽을 기준으로 규정하는 경우가 있습니다. 이보다 더 급격한 변화를 가진 신호에 대해서는 출력 파형이 추종하지 못해 왜곡이 발생합니다. 증폭 회로를 구성한 경우에도 슬루율은 출력 변화의 비율이므로 기본적으로 변하지 않습니다.

OP Amp는 직류와 교류 양쪽의 신호 증폭에 사용됩니다. OP Amp에는 응답 속도의 한계가 있어 모든 신호를 다룰 수 있는 것은 아닙니다. 위 그림의 전압 폴로어 구성에서는 직류 전압 입력에 대해 입력 전압 범위와 출력 전압 범위의 제한을 받습니다. 여기에 주파수를 가진 교류 신호에서는 이득 대역폭 곱과 슬루율의 제약이 더해집니다.

정현파 출력에서는 슬루율, 진폭, 주파수의 관계를 이용해 출력 파형이 추종할 수 있는 범위를 추정할 수 있습니다.

정현파 출력에 필요한 슬루율

정현파를 출력할 때 필요한 슬루율은 파형의 진폭과 주파수에 의해 결정됩니다. 진폭 또는 주파수가 커질수록 출력 전압의 변화는 급격해지고, 슬루율이 부족하면 파형이 왜곡됩니다. 정현파 식에서 출력 파형의 최대 기울기를 구하면 필요한 슬루율을 알 수 있습니다. 또한 OP Amp의 슬루율이 정해져 있는 경우에는 같은 관계식으로 출력 가능한 주파수나 진폭의 상한도 구할 수 있습니다.

위 그림과 같은 정현파를 출력하는 경우를 생각합니다. 정현파의 출력 전압은 다음과 같이 나타냅니다.

\(y = A\ sin(ωt)\)

여기서 A는 정현파의 피크 진폭, ω는 각주파수입니다. 출력 전압의 기울기를 구하기 위해 이 식을 시간 t로 미분합니다.

\(\displaystyle\frac{dy}{dt} = Aω\ cos(ωt)\)

정현파의 기울기가 최대가 되는 것은 cos(ωt) = 1일 때입니다. 따라서 출력 파형의 최대 기울기는 다음과 같습니다.

\(SR = Aω = 2πfA\)

이 식은 지정한 피크 진폭 A와 주파수 f의 정현파에 필요한 슬루율을 나타냅니다. 반대로 OP Amp의 슬루율 SR이 정해져 있으면 같은 식을 f에 대해 풀어 그 진폭에서 출력할 수 있는 최대 주파수를 구할 수 있습니다.

\(f = \displaystyle\frac{SR}{2πA}\)

또한 정현파의 피크 투 피크 전압을 V_PP라고 하면 V_PP = 2A입니다. 따라서 A = VPP2를 위 식에 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(f = \displaystyle\frac{SR}{πV_{PP}}\)

같은 관계를 V_PP에 대해 풀면, 지정한 주파수 f에서 출력할 수 있는 피크 투 피크 전압의 기준도 구할 수 있습니다.

\(V_{PP} = \displaystyle\frac{SR}{πf}\)

풀 파워 대역폭에 의한 설계 판단

풀 파워 대역폭은 지정한 출력 진폭의 정현파를 슬루율 제한에 의한 파형 왜곡이 생기기 어려운 범위에서 출력할 수 있는 주파수의 기준입니다. 앞의 식 f = SRπV_PP를 사용하면 출력하려는 진폭 V_PP를 정했을 때 그 조건에서 다룰 수 있는 상한 주파수를 추정할 수 있습니다. 여기서 말하는 대역폭은 소신호로 측정하는 대역폭이나 GBW에서 추정하는 폐루프 대역폭이 아니라, 큰 진폭에서의 슬루율 제한으로 결정되는 값입니다.

SR=1V/µs인 OP Amp로 1VPP의 정현파를 출력하는 조건에서는 슬루율로부터 허용 가능한 주파수의 기준을 구할 수 있습니다. 1VPP는 피크 진폭으로 보면 A=0.5V에 해당하지만, 앞에서 구한 f = SRπV_PP를 사용하면 V_PP를 그대로 대입할 수 있습니다. 계산 조건은 SR = 1×106 V/s, V_PP=1V입니다.

\(f = \displaystyle\frac{SR}{πV_{PP}} = \displaystyle\frac{1×10\,^6}{π×1} = 318.4 kHz\)

이 결과에서 1VPP의 정현파에서는 약 318kHz가 슬루율 관점의 상한 주파수 기준이 됩니다. 필요한 주파수가 이 값에 가깝거나 이를 넘는 경우에는 OP Amp가 출력 파형의 기울기를 따라가기 어려워지고, 정현파가 무너지며 파형 왜곡이 생기기 쉬워집니다. 슬루율 제한이 강해지면 출력 파형은 직선적인 변화를 포함해 삼각파에 가까운 형태가 됩니다.

설계 시에는 필요한 출력 진폭과 주파수를 먼저 정하고, 그 조건에서 풀 파워 대역폭에 충분한 여유를 둡니다. 여유가 작으면 더 높은 슬루율을 가진 OP Amp를 선택하거나, 출력 진폭을 낮추거나, 다룰 주파수 범위를 다시 검토합니다. 실제 선정에서는 GBW로 추정하는 폐루프 대역폭, 출력 진폭 범위, 부하 조건, 허용 왜곡률, 데이터시트의 측정 조건도 함께 판단합니다.

OP Amp의 증폭과 부귀환 정리

OP Amp의 증폭을 설계할 때는 반전 증폭 회로나 비반전 증폭 회로에서 필요한 폐루프 이득을 정하고 저항비로 설정합니다. 오픈 루프 이득 자체를 사용하는 것이 아니라 부귀환으로 안정된 이득을 얻는다는 점이 중요합니다. 다만 부귀환은 이득 정확도, 대역폭, 왜곡 개선과 관련되는 한편, GBW로 인해 높은 이득에서는 사용할 수 있는 주파수 범위가 좁아집니다. 또한 큰 진폭 신호에서는 슬루율과 풀 파워 대역폭도 확인해야 합니다. 이득, 대역폭, 신호 진폭을 함께 보면 용도에 맞는 OP Amp 동작을 예측할 수 있습니다.