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2019.09.25 전달 함수

스위칭의 전달 함수란? : 기본이 되는 강압 모드 전달 함수의 도출

DC/DC 컨버터 : 각 제어계에 대한 전달 함수의 공통화

이번 편에서는 지금까지 도출한 식을 염두에 두고, 먼저 강압 모드의 스위칭 전달 함수를 도출하고, 상태 평균화법을 사용하여 동작 모드에 한정되지 않는 통일된 전달 함수를 도출하겠습니다.

본 편의 내용이 가장 어려운 전달 함수이므로, 이해를 돕기 위해 이번 편의 개요를 그림 1로 정리하였습니다.

상태 평균화법이라고 하면, 생소하게 느껴지는 분도 많으실 것입니다. 그러나, 이것을 이용할 수 있으면, 각 컨버터의 전달 함수를 통일된 접근 방법으로 도출할 수 있습니다. 가능한 알기 쉽게 설명할 예정이니, 활용하여 보시길 바랍니다.

G3의 전달 함수 도출, 주파수 특성

먼저, 스위칭 레귤레이터를 기능별로 블록화한 이미지를 떠올려 주십시오. 여기에서는 먼저 스위칭 블록의 G3에 관한 전달 함수를 도출해보겠습니다.

우선,를 구하기 위해 그림 2를 참조하여 주십시오.

이는 강압 모드의 스위칭 파형입니다. VSW는 SW 단자가 H(VIN), L(O)일 때의 시간 평균으로 기술할 수 있으므로,

식 4-1에서, D→D+∆D, VSW→VSW+∆VSW 라고 하면,

을 도출할 수 있습니다.

이 결과는 오른쪽 그림과 같이, G3은 Gain이 일정하고, 위상은 변화하지 않음을 나타냅니다.

G4의 전달 함수 도출

다음으로, 출력 필터 블록인 G4, 을 구하기 위해 그림 4를 참조하여 주십시오.

이는, VSW에서 LC 필터를 통해 Vout으로 연결되는 경로를 나타낸 것입니다. VSW에서 보면, Vout은 L과 Ztotal의 임피던스 분할이라고 생각할 수 있으므로, 하기의 식 4-2를 도출할 수 있습니다.

여기에서, 이 G4의 전달 함수를 바탕으로, 2가지 케이스에 대해 생각해 보고자 합니다.

케이스 1

만약, RESR=0, R=open(∞)일 때 G4는 하기와 같아집니다.

이는, 흔히 접할 수 있는 LC 필터로, 보드 선도는 오른쪽 그림과 같아집니다. 여기까지는 이해하기 쉬우실 것입니다.

f가 작을 때 G4는 플러스 (>0) 값이 되므로, Phase는 항상 0입니다.

f가 커져,까지가 되면, 분모가 0이 되므로 Gain은 발산합니다.

f가 더 커지면, G4는 마이너스 (<0) 값이 되므로, Phase는 180° 회전하게 됩니다.

케이스 2

케이스 1에 RESR과 R이 부가될 때는 분모에 1차 허수 (imaginary number)항이 더해집니다. f가 충분히 작거나, f가 충분히 클 때는 케이스 1과 같아지지만, f의 공진점 부근에서는 분모가 0이 될 수 없으므로 Gain은 발산하지 않습니다.

또한, 여기에서는 1차 허수항이 남기 때문에, 위상이 0→180°가 되지 않고, 0→90°→180°로 변화합니다. 이를 보드 선도로 나타낸 것이 그림 6입니다.

여기까지의 설명으로, G4의 전달 함수와 보드 선도의 연관성이 이해되셨을 것입니다.

TOTAL 전달 함수 (강압 전압 모드 일반식)

그럼, 지금까지 도출한 전달 함수를 바탕으로, 전체로서의 TOTAL 전달 함수를 구하겠습니다. TOTAL 전달 함수는 하기 식으로 나타낼 수 있다고 이전에 설명했습니다.

이를 바탕으로 G는 하기와 같이 나타낼 수 있습니다.

이 식의 보드 선도는 그림 7과 같아지며, 각 블록의 특징을 알 수 있습니다. 해당 식을 색으로 구분하여, 그래프의 영역 윤곽선 색으로 동일하게 나타내었습니다.

이와 같이 각 블록별로 전달 함수를 기술하여 식을 세우면, 계통의 보드 선도를 작성할 수 있습니다. 그러나, 지금까지 기술한 내용은 우선 이해가 쉽도록 간단히 설명한 것이므로, 엄밀히 따지면 적용이 어려운 부분도 있습니다. 예를 들어, G3과 G4의 도출 부분에서 이러한 개념은 강압 모드에는 적용 가능하지만, 승압 및 승강압 모드에는 적용할 수 없습니다. 따라서, 이러한 모든 모드에 적용 가능한 상태 평균화의 개념을 도입할 필요가 있습니다.

키 포인트

・스위칭 블록 G3, 출력 필터 블록 G4의 전달 함수를 구하여, 전체의 전달 함수를 도출한다.

・G=G1×G2×G3×G4의 기술에 따라, 우선 강압 모드의 전달 함수를 도출해본다.

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