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모터의 PWM 구동 : PWM 주기와 모터의 전기적 시정수의 관계

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Brush DC 모터의 PWM 구동 시, 「PWM의 주기를 모터의 전기적 시정수보다 충분히 짧은 주기로 설정해야 한다」는 주의 사항이 있습니다. 여기에서 「충분히 짧은 주기」가 구체적으로 어느 정도인지 설명하겠습니다.

PWM 구동 시 모터의 전기적 시정수에 대해 충분히 짧은 PWM 주기란?

먼저 수치적인 관련성에 대해 설명하겠습니다. 전류 리플치는 Duty 비 m=0.5일 때가 가장 커지고, 「모터의 전기적 시정수 τ/PWM 주기 tpwm」과 「전류 리플/평균 전류」의 관계는 하기와 같습니다.

τ/tpwm 평균 전류 전류 리플 (p-p) 전류 리플/평균 전류 (%)
100 0.5×Ea/R 0.0025×Ea/R 0.5
50 0.5×Ea/R 0.005×Ea/R 1.0
25 0.5×Ea/R 0.01×Ea/R 2.0
10 0.5×Ea/R 0.025×Ea/R 5.0
5 0.5×Ea/R 0.05×Ea/R 10.0

상기 표에서, 리플을 5% 이하로 억제하기 위해서는 τ/tpwm은 10배 이상 필요하다는 것을 알 수 있지만, 실제로는 필요한 특성에 맞추어 결정해야 합니다. 수학적으로는, 「모터의 전기적 시정수 τ에 대해 PWM 주기 tpwm이 충분히 짧다」는 것은 tpwm/τ≈0이라고 생각하므로, τ/tpwm>100 정도는 필요하다고 생각합니다.

이를 수식으로 구해보겠습니다. 먼저, Brush DC 모터에 전원전압을 인가한 경우의 등가 회로를 확인해보겠습니다.

Ea : 전원전압
Ia : 모터 전류
R : 모터의 등가 저항
L : 모터의 등가 인덕턴스
Ec : 모터의 발전 전압

모터의 전기적 시정수란, 입력전압에 대한 전류 상승 특성을 나타내는 수치로, 피크 63.2%에 도달하기까지의 시간입니다. 등가 회로가 나타내는 바와 같이, 모터는 전기적으로 저항 R과 인덕턴스 L의 직렬 접속에 모터의 발전 전압 Ec가 추가된 회로입니다. 모터의 전기적 시정수 τ는 L/R로 나타납니다. 이 수치가 작을수록 전류 파형을 빠르게 상승시킬 수 있다는 것을 의미합니다.

모터 발전 전압 Ec=0V일 때, 모터 등가 회로의 인덕턴스 L과 저항 R에 전압 Ea를 스텝 상태로 인가한 경우의 과도 전류 i의 관계식은 식 (1)과 같습니다.

 L · (di/dt)+R · i=Ea ……(1)

이 미분 방정식의 일반해는 식 (2)와 같아지므로,

 i=Ea/R+A · exp(-R · t/L)     A : 초기치 ……(2)

t=0일 때 i=i_0의 초기치 전류가 흐른다고 가정하면,

 A=i_0-Ea/R ……(3)

식 (3)이 구해지고,

 i=(Ea/R) · (1-exp(-R · t/L))+i_0 · exp(-R · t/L) ……(4)

식 (4)가 됩니다.

다음으로, 하기는 모터 단자 사이를 쇼트하여 전류 회생시킨 경우의 등가 회로입니다.

Ia : 모터 전류
R : 모터의 등가 저항
L : 모터의 등가 인덕턴스
Ec : 모터의 발전 전압

이 때의 과도 전류 i를 구합니다. i는 식 (2)에서 Ea=0V일 때,

 i=A · exp(-R · t/L) ……(5)

식 (5)와 같아지고, t=0일 때 Brush DC 모터 PWM 구동 과도 전류 파형 τ/tpwm 변화 시에 i_0의 초기치 전류가 흐른다고 가정하면,

 A=i_0 ……(6)

식 (6)이 구해지고,

 i=i_0 · exp(-R · t/L) ……(7)

식 (7)이 됩니다.

이러한 식에서 PWM 구동 시의 모터 코일에 흐르는 과도 전류는, 전압 인가 시의 전류를 i_1이라고 하면,

 i_1=(Ea/R) · (1-exp(-m · tpwm/τ))+i_01 · exp(-m · tpwm/τ) ……(8)

또한, 모터 단자 사이를 쇼트하여 회생시킬 때에 흐르는 전류를 i_2라고 하면,

 i_2=i_02 · exp(-(1-m) · tpwm/τ) ……(9)

식 (9)의 지수 함수가 됩니다.

단, Ea : 인가 전압, R : 모터의 등가 저항치, m : ON Duty 비 (=0~1), tpwm : PWM 주기, τ : 모터의 전기적 시정수 (=L/R), i_01, i_02 : 각 초기 전류치, 모터의 발전 전압 Ec=0V입니다.

이러한 과도 전류식으로, 모터의 전기적 시정수에 대해 충분히 짧은 주기의 PWM을 생각하면,

 -m · tpwm/τ≈0 및 -(1-m) · tpwm/τ≈0

이 되어,

 exp(-m · tpwm/τ)≈1 및 exp(-(1-m) · tpwm/τ)≈1

이 되므로,

 i_1≈i_01, i_2≈i_02

가 성립하여, 항상 일정한 전류가 흐릅니다.

 -m · tpwm/τ≈0 및 -(1-m) · tpwm/τ≈0

이 성립하기 위해서는,

τ/(m · tpwm)>100, τ/((1-m) · tpwm)>100

이 수학적으로는 필요하고, PWM 주기 tpwm으로 생각하더라도,

τ/tpwm>100

정도는 필요하다고 생각됩니다.

전류 리플에 대해서는 전류 안정 시에 i_2의 초기치가 i_1이 되고, i_2의 결과가 i_1의 초기치 i_0이 되므로, 하기의 3가지 식이 성립됩니다.

 i_1=(Ea/R) · (1-exp(-m · tpwm/τ))+i_0 · exp(-m · tpwm/τ) ……(10)
 i_2=i_1 · exp(-(1-m) · tpwm/τ) ……(11)
 i_2=i_0 ……(12)

i_1과 i_2가 소거되도록 식을 정리하면, i_0과 m, tpwm, τ의 관계식을 구할 수 있으며, 파라미터를 대입하여 계산하면 각 전류치를 구할 수 있습니다.

이러한 식을 사용하여, 모터 전류가 0A에서 PWM 구동한 경우의 과도 전류 파형 예를 2가지 살펴보겠습니다. 첫번째는 Ea=12V, R=6Ω일 때 τ/tpwm=10, tpwm=100μs로 m을 변화시켰을 때의 그래프이며, m=0.5일 때의 리플이 가장 커집니다.

다음 그래프는 Ea=12V, R=6Ω은 동일하고, m=0.5일 때 tpwm을 변경함으로써 τ/tpwm을 변화시킨 예에서 τ/tpwm이 큰 쪽이 리플이 작아집니다.

실제로 전원 접속 시나 모터 단자간 쇼트 시에는 드라이브 회로의 출력 MOSFET의 ON 저항이나 회생 전류가 MOSFET의 기생 다이오드를 경유하여 흐르는 경우 등을 고려해야 합니다.

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