공진 회로 : 공진 주파수의 계산 방법, Q값 산출 방법

목차

• ・공진 주파수란?
• ・공진 회로에서의 공진 주파수
• ・직렬 공진 회로란?
• ・병렬 공진 회로란?
• ・공진 회로의 Q값
• ・공진 회로의 사용 예
• ・공진을 억제하는 댐핑 저항과 페라이트 비즈
• ・공진 회로에 대한 이해도를 높여, 전자회로의 설계에 활용

공진 회로란, 인덕터 (\( L \))와 콘덴서 (\( C \))를 사용하여, 특정 주파수에서 공진을 발생시키는 전기회로를 가리킵니다. 공진 회로에는 직렬 공진 회로와 병렬 공진 회로의 2종류가 있으며, 직렬 공진 회로에서는 공진 시 임피던스가 최소가 되며, 병렬 공진 회로에서는 최대가 됩니다. 이러한 특성은 무선 통신이나 필터 설계, 신호 처리 등 다양한 전자기기의 기초로서 널리 응용되고 있습니다.

본 기사에서는 공진 주파수의 계산 방법과 Q값 (Quality Factor)에 대해 자세하게 설명하겠습니다. 공진 주파수의 정확한 계산은 공진 회로의 설계와 최적화를 위해 꼭 필요한 사항으로, Q값은 회로의 선택성과 에너지의 손실을 평가하는 중요한 지표입니다. 이러한 개념을 확실하게 이해하면 공진 회로의 성능을 최대한으로 활용할 수 있어, 한층 더 효율적이고 정밀한 전자 회로의 설계가 가능해집니다.

공진 주파수란?

공진 주파수란 물체나 시스템이 자연적으로 지니는 것으로, 진동하는 고유의 주파수입니다. 외부로부터 에너지가 공급되면 이 주파수에서 공진이라는 현상이 발생하여, 시스템의 진동이 증폭하게 됩니다. 이러한 현상을 충분히 이해하기 위해서는 고유 진동의 개념이 중요합니다. 고유 진동이란, 외부로부터의 충격으로 인해 물체가 해당 고유 진동수로 자연적으로 진동하는 것을 뜻합니다. 진동수는 물체의 형상, 질량, 탄성에 따라 결정되며, 외부로부터 가해지는 충격의 크기에 관계없이 물체는 이 진동수만큼만 진동합니다. 예를 들어 다른 종류의 타악기가 독자적인 음색을 내는 것은 각각 독자적인 진동수로 진동하기 때문입니다.

공진 주파수에서 공진이 발생하면, 시스템은 외부로부터의 에너지를 매우 효율적으로 흡수하여 축적합니다. 예를 들어 그네를 뛰는 행위는 적은 힘으로 그네의 진폭을 크게 할 수 있는 공진의 일례입니다. 이는 그네의 고유 진동수에 따라 외부로부터 에너지를 공급받아 진동을 증폭시킴으로써 성립됩니다.

전기회로에 있어서는 저항 (\( R \)), 인덕터 (\( L \)), 콘덴서 (\( C \))의 조합으로 공진 주파수가 결정되고, 회로가 이러한 주파수에서 동작할 때에는 전자 에너지가 인덕터와 콘덴서 사이에서 효율적으로 이동하여, 회로 전체에서의 에너지 축적이 최대가 됩니다. 이 원리는 무선 통신, 필터링, 센서 기술 등 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 공진 주파수를 정확하게 이해한 후 제어함으로써, 이러한 시스템의 성능을 최대화하여, 높은 효율과 정밀도를 달성할 수 있습니다.

고유 진동과 공진

공진 회로를 이해함에 있어서 먼저 「고유 진동」과 「공진」에 대한 이해가 필요합니다.

「고유 진동」이란, 물체에 충격을 가했을 때 그 물체가 고유한 진동수로 진동하는 현상을 가리킵니다.
고유한 진동수로 진동한다는 것은, 예를 들어 실로폰 (악기)의 톤바를 칠 때나, 물이 들어 있는 유리컵의 가장자리를 칠 때 소리가 나는데, 어느 누가 이러한 행동을 하더라도 반드시 동일한 높이의 음이 발생됩니다. 그 이유는 실로폰 톤바 각각의 재질이나 크기, 유리컵의 재질이나 두께, 유리컵에 들어 있는 액체의 수위 등 조건에 따라 각각 충격을 가했을 때의 진동수가 정해져 있기 때문입니다 (고유 진동수가 정해져 있다).

그리고, 한 개의 물체에 고유 진동을 계속 인가한 경우에는, 인가된 진동과 동기되어 진동이 한층 더 크게 증폭됩니다. 이러한 현상을 「공진」이라고 합니다. 예를 들어, 흔들리는 그네에 힘을 계속 인가하게 되면, 그네의 움직임이 서서히 커지는 것 역시 「공진」이 발생되었기 때문입니다.

공진 회로에서의 공진 주파수

공진 회로에서의 공진 주파수는 전자회로가 공진하는 특정 주파수를 가리키며, 이 주파수에서는 회로의 임피던스가 최소 또는 최대가 됩니다. 공진 회로는 직렬 타입이나 병렬 타입으로 설계되며, 어떤 타입의 배치라도 공진 주파수의 계산에 사용하는 공식은 동일합니다.

공진 주파수와 공진 각주파수

공진 주파수는 하기의 식으로 나타낼 수 있습니다.

\(f_0 = \displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \, \text{[Hz]}\)

공진 각주파수 (\(ω_0\))는 하기의 식으로 나타낼 수 있습니다.

\(\omega_0 = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

리액턴스에서 공진 주파수를 증명

공진 회로의 이해를 위해서는 먼저 공진 주파수와 공진 각주파수에 대해 이해하는 것이 중요합니다.

공진 주파수 (\(f_0\))는 회로가 가장 높은 효율로 에너지를 전달하는 주파수이며, 해당 주파수에서 전압 및 전류는 최대가 됩니다. 공진 각주파수 (\(ω_0\))는 공진 주파수를 라디안 퍼 세크 (\(rad/s\))로 나타낸 것으로, 계산 및 분석에 사용됩니다.

이러한 기본적인 개념을 이해함으로써 공진 회로가 어떻게 동작하고, 어떤 특성을 지니는지에 대해 한층 더 심도 있게 이해할 수 있습니다. 공진 회로의 설계나 응용 시, 이러한 주파수의 지식은 매우 큰 도움이 됩니다.

공진의 발생 여부는 리액턴스에 관계됩니다. 용량성 리액턴스 \(X_C\) 및 유도성 리액턴스 \(X_L\)은 각각 하기와 같이 정의할 수 있습니다.

\(X_C = \displaystyle \frac{1}{2\pi f C}\)

\(X_L = 2\pi f L\)

이 수식은, 주파수가 변화하면 각각의 리액턴스가 변환하는 것을 나타냅니다.

공진이 발생하는 조건은 인덕턴스와 캐패시턴스의 리액턴스가 동일해질 때입니다.

\(X_L = X_C\)

이 식을 인덕턴스와 캐패시턴스의 식에 대입하면, 하기와 같아집니다.

\(2\pi f L = \displaystyle \frac{1}{2\pi f C}\)

이 식을 주파수 (\(f\))에 관한 식으로 나타내면, 공진 주파수 (\(f_0\))를 구할 수 있습니다.

\(f_0^2 = \displaystyle \frac{1}{4\pi^2 LC}\)

\(f_0 = \displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)

또한, 공진 각주파수 (\(ω_0\))는 다음 식과 같아집니다.

\(\omega_0 = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

공진 회로는 통신, 방송, 아날로그 전자기기 등 다양한 영역에서 사용되며, 그 특성에 의해 특정 주파수의 신호를 강조할 수 있습니다.

직렬 공진 회로란?

직렬 공진 회로는 인덕터와 콘덴서를 직렬로 접속하고, 공진 주파수에서 임피던스를 최소화하는 회로입니다. 이 회로는 필터로서 기능하며, 특정 주파수만을 선택적으로 통과시킬 수 있습니다. 라디오 수신기나 오디오 기기 등 특정 신호를 강조하는 디바이스에 널리 사용되고 있습니다.

직렬 공진 회로의 공진 주파수는 인덕턴스와 캐패시턴스의 값에 따라 결정되며, 정밀한 주파수 제어가 가능합니다. 직렬 공진 회로의 설계를 통해 전자기기의 고성능 동작을 실현할 수 있습니다.

RLC 직렬 공진 회로의 임피던스

저항 (\(R\)), 인덕터 (\(L\)), 콘덴서 (\(C\))를 직렬로 접속한 회로에서 공진이 발생합니다. 공진은 콘덴서와 인덕터의 리액턴스가 동일해지는 주파수에서 발생합니다. 이것을 RLC 직렬 공진 회로라고 합니다.

RLC 직렬 회로에서 임피던스 (\(Z\))는 하기의 식으로 나타낼 수 있습니다.

\(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}\)

공진이 발생하는 조건은 인덕턴스와 캐패시턴스의 리액턴스가 동일해질 때입니다.

즉, 공진 상태의 RLC 직렬 회로에서 임피던스 (\(Z\))는 하기의 식으로 나타낼 수 있습니다.

\(|Z| = \sqrt{R^2 + 0^2} = R\)

복소 임피던스 면에서도 콘덴서와 인덕터의 리액턴스가 동일해질 때 임피던스는 저항 성분만 남게 되는 것을 알 수 있습니다.

\(Z = R + j(X_L – X_C)\)

\(Z = R + j(\omega_0 L – \displaystyle \frac{1}{\omega_0 C}) = R + j\left(\displaystyle \frac{L}{\sqrt{LC}} – \displaystyle \frac{\sqrt{LC}}{C}\right) = R + j\left(\displaystyle \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}} – \displaystyle \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}}\right) = R\)

인덕터 \(L\)과 콘덴서 \(C\)의 리액턴스는 공진 주파수에서 상쇄되므로, 겉보기에는 저항 (\(R\))만 남는 상태가 됩니다.

이에 따라, 임피던스는 최소가 되고 회로 내에서의 전류는 최대가 됩니다.

\(I = \displaystyle \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}} = \displaystyle \frac{V}{\sqrt{R^2 + 0}} = \displaystyle \frac{V}{R}\)

직렬 공진 회로의 응용

직렬 공진 회로는 전기 및 전자회로에서 매우 중요한 역할을 담당합니다. AC 전원 필터나 노이즈 필터, 라디오나 TV의 동조 회로 등 다양한 전기제품에 탑재되어 특정 주파수의 채널을 수신하기 위한 선택적 동조 회로를 생성합니다. 이에 따라 다양한 주파수의 신호를 정확하게 선택하여 수신할 수 있습니다.

병렬 공진 회로란?

병렬 공진 회로는 인덕턴스와 캐패시턴스가 병렬로 접속된 회로로, 특정 주파수에서 공진 현상을 발생시키는 것이 특징입니다. 이 회로는 무선 통신이나 필터 회로 등 특정한 주파수를 선택하여 강조할 필요가 있는 대부분의 전자기기에 사용되고 있습니다. 공진 주파수에 있어서 인덕터와 콘덴서의 리액턴스가 상쇄됨에 따라, 회로 전체의 임피던스는 최대가 되어 특정 신호가 강조됩니다.

RLC 병렬 공진 회로의 임피던스

RLC 병렬 공진 회로는 저항 (\(R\)), 인덕터 (\(L\)), 콘덴서 (\(C\))를 병렬로 접속한 회로입니다. 이 회로의 임피던스 공식은 하기와 같아집니다.

\(\displaystyle \frac{1}{Z} = \displaystyle \frac{1}{R} + \displaystyle \frac{1}{j \omega L} + j \omega C = \displaystyle \frac{1}{R} + \displaystyle \frac{-j}{\omega L} + j \omega C = \displaystyle \frac{1}{R} + j(\omega C – \displaystyle \frac{1}{\omega L})\)

RLC 병렬 공진 회로가 공진할 때에도 RLC 직렬 공진 회로가 공진할 때와 마찬가지로 인덕터 (\(L\))의 리액턴스와 콘덴서 (\(C\))의 리액턴스가 상쇄됩니다.

\(\displaystyle \frac{1}{Z} = +j\left(\displaystyle \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{L}} – \displaystyle \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{L}}\right) = \displaystyle \frac{1}{R}\)

RLC 병렬 회로에 있어서도 공진 상태일 경우, 임피던스 (\(Z\))는 저항 성분만 남게 되는 것을 알 수 있습니다.

\(Z = R \)

RLC 병렬 회로에 있어서 공진 상태일 경우에는 RLC 직렬 회로와는 달리, 임피던스는 최대 (무한대), 전류는 최소 (전류가 흐르지 않아 회로가 단절되는 것과 동일한 상태)가 됩니다.

RLC 직렬 공진 회로와 병렬 공진 회로의 차이점

RLC 직렬 공진 회로와 RLC 병렬 공진 회로는 임피던스와 전류의 관계에서 차이점이 있습니다. RLC 직렬 공진 회로에 흐르는 전류는 전압을 임피던스로 나눈 값이므로 공진 시에 임피던스는 최소치 (=\(R\))가 되고 회로전류는 최대가 됩니다.

반면에, RLC 병렬 공진 회로는 공진 시 어드미턴스의 허수부가 zero가 되어 임피던스는 최대 (\(=∞\))가 됩니다. 임피던스가 최대가 되면 회로전류가 제한되므로 회로가 단절된 것과 동일한 상태가 됩니다.

RLC 직렬 공진 회로와 RLC 병렬 공진 회로는 공진 주파수의 산출 방법이나 공진 시 \(Z\)=\(R\)이 되는 포인트 등 많은 공통점이 있지만, RLC 직렬 공진 회로는 공진 시에 임피던스가 최소 · 전류가 최대인 반면, RLC 병렬 공진 회로는 공진 시에 임피던스가 최대 (무한대) · 전류가 최소 (전류가 흐르지 않아 회로가 단절된 것과 동일한 상태)가 된다는 점을 기억해야 합니다.

공진 회로의 Q값

「Q값 (Quality Factor)」은 공진 주파수에서 신호의 첨예도 (尖鋭度)나 선택성을 정량화하는 중요한 지표로서, Q값이 높으면 신호 특성의 첨예도 (尖鋭度)가 높고, Q값이 낮으면 그 특성이 완만해집니다. 이 값은 회로가 에너지를 효율적으로 축적하여 손실을 최소화하는 능력을 반영하고 있으므로 전자 필터, 진동자, 안테나 설계의 정밀도를 크게 좌우합니다.

Q값이 높은 회로는 좁은 대역의 신호를 한층 더 정밀하게 검출할 수 있어, 첨단 통신 기술이나 정밀한 센서 설계에 꼭 필요합니다. 적절한 Q값의 선정과 조정은 고성능 전자기기의 설계에 있어서 결정적인 요소로서 기능하게 됩니다.

또한, Q값과 반비례 관계인 밴드폭은 공진 회로가 효율적으로 통과시킬 수 있는 주파수 범위를 나타냅니다.

\(Q = \displaystyle \frac{\text{공진 주파수에서 신호의 강약}}{\text{밴드폭 BW}}\)

\(Q = \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_2 – \omega_1} = \displaystyle \frac{f_0}{f_2 – f_1}\)

RLC 직렬 공진 회로에서의 Q값 산출 방법

RLC 직렬 공진 회로에서의 Q값 산출 방법은 회로가 공진 상태일 때 전류의 동작과 인덕터 (\(L\))와 콘덴서 (\(C\))의 상호 작용에 초점을 두고 이해해야 합니다. 공진 시 전류 \(I\)는 일정하고 인덕터와 콘덴서는 에너지를 서로 교환하기 때문에, 이러한 요소에 의한 리액턴스는 상쇄됩니다.

이 상태에서 Q값은 인덕터의 리액턴스에 대한 저항기 (\(R\))의 저항치 비율로 정의되고, 회로의 선택성과 공진의 첨예도 (尖鋭度)를 나타내는 지표가 됩니다.

\(Q = \displaystyle \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_2 – \omega_1} = \displaystyle \frac{1}{R} \sqrt{\displaystyle \frac{L}{C}} = \displaystyle \frac{\omega_0 L}{R}\)

예를 들어 하기 그림은 RLC 직렬 공진 회로에서 흐르는 전류의 크기 “\(I\)”의 주파수 특성을 나타내는 그림입니다. 인덕터 (\(L\))와 콘덴서 (\(C\))가 공진하는 주파수 (각주파수)에서 임피던스는 최소가 됩니다.

또한, Q값은 공진 회로 내에서 전압의 증폭률을 나타내는 계수로서도 기능하며, 인덕터를 통과하는 전압이 저항 성분에 의해 얼마나 증폭되는지 즉, 전원전압에 대한 전압의 배율을 나타냅니다.

그리고, 각주파수를 횡축으로 할 때, 전류의 크기가 최대치가 되는 것을 알 수 있습니다.

RLC 직렬 공진 회로에 있어서는 Q값에 따라 대역폭이 달라지지만, RLC 병렬 공진 회로의 경우 대역폭은 고정입니다.

RLC 병렬 공진 회로에서 Q값의 산출 방법

RLC 병렬 공진 회로에서 Q값의 산출 방법은 공진 현상과, 그때의 전류 및 전압의 관계에서 기인합니다. 공진이 발생하면 회로 전체의 전압 \(V\)는 일정하게 유지되고 인덕터 (\(L\))와 콘덴서 (\(C\)) 사이에서 에너지가 순환되어, 이러한 요소의 리액턴스가 상호 상쇄 작용을 합니다. 이 상태에서는 인덕터와 콘덴서를 통과하는 순환 전류가 상호 동일하고 역상이기 때문에, 이러한 부품에 의한 배선간 소비전력은 zero가 됩니다.

Q값의 결정에서 중요한 것은, 인덕터에 흐르는 순환 전류와 저항 (\(R\))에 흐르는 실효 전류의 비율입니다. 이 비율은 회로의 선택성과 에너지 손실의 크기를 정량화하여, Q값이 높을수록 회로는 좁은 대역폭의 신호에 대해 높은 선택성을 지니고 에너지 손실이 적은 것을 의미합니다. 공진 시의 전압이 일정하다는 특성은 병렬 공진 회로가 에너지를 효율적으로 축적하여, 공진 주파수 부근의 신호를 높은 정밀도로 처리하는 능력을 지닌 것을 의미합니다.

\(Q = \displaystyle \frac{I_C}{I_R} = \displaystyle \frac{I_L}{I_R}\)

\(Q = \displaystyle \frac{V}{\omega L} \div \displaystyle \frac{V}{R} = \displaystyle \frac{R}{\omega L} = \displaystyle \frac{R}{2\pi f L}\)

\(Q = \omega C ÷ \displaystyle \frac{V}{R} = \omega CR = 2\pi f CR\)

RLC 병렬 회로의 특성 중 1개는 공진 시에 임피던스가 매우 커져, 결과적으로 회로에 흐르는 전류가 제한된다는 점입니다. 이는 인덕터와 콘덴서가 공진 상태일 때 에너지를 교환하고, 각각이 역상의 전류를 생성하기 때문에 외부에서 보면 높은 임피던스로서 동작하기 때문입니다. 이 현상은 회로가 공진 주파수에서만 신호를 효율적으로 통과시킬 수 있으며, 그 이외의 주파수에서는 차단하는 필터로서의 역할을 담당합니다.

또한, RLC 직렬 회로와 비교하면, LC 병렬 회로에서 저항의 역할은 회로의 대역폭에 대해 댐핑 효과를 제공하는 경우가 있습니다. 이러한 댐핑 효과를 통해, 첨예도 (尖鋭度)가 과도하게 높은 공진을 억제함으로써 한층 더 안정적인 회로 동작을 실현할 수 있습니다.

중요한 포인트로서, 병렬 공진 회로의 Q값은 직렬 공진 회로의 Q값과는 다른 관계성을 가지고 있습니다. 구체적으로, 병렬 공진 회로의 Q값은 직렬 회로의 Q값 계산식의 역수로서 정의됩니다. 이는 Q값이 직렬 회로에서는 인덕턴스와 저항의 비율로 나타나는 반면, 병렬 회로에서는 이 비율의 역수에 의한 특징이 있기 때문입니다. 이러한 차이점은 두가지 타입의 회로에서 에너지를 처리하는 방법이 근본적으로 다르기 때문에 발생됩니다.

공진 회로의 사용 예

지금까지 설명한 직렬 및 병렬의 공진 회로는 생활 주변에서 실제로 어떻게 응용되고 있을까요?

예를 들어, 직렬 공진 회로의 응용 예에는, TV나 라디오의 수신 회로가 있습니다. 직렬 공진의 「특정 주파수에서만 전류는 최대가 된다」는 특성을 활용하여, 수신하고자 하는 주파수와 동일한 주파수를 「공진 주파수」로 설정한 회로를 미리 작성해 두고, 해당 주파수에서는 큰 전류를 흘리고 불필요한 주파수에서는 거의 전류를 흘리지 않도록 하는 방법입니다. 그 외에도 직렬 공진 회로는 AC 전원 필터, 노이즈 필터 등에도 응용됩니다.

병렬 공진 회로의 응용 예로는 멀티 밴드 안테나에서 사용되는 트랩 회로 및 광대역 증폭 회로 등이 있습니다.

▼콘덴서나 코일을 사용한 노이즈 대책, EMC 대책에 대해서는 하기 URL을 참조하여 주십시오.
https://techweb.rohm.co.kr/know-how/nowisee/

공진을 억제하는 댐핑 저항과 페라이트 비즈

전자부품의 소형화 및 고집적화가 가속화되는 오늘날, RLC 공진 회로를 활용함에 있어서 노이즈 대책이 매우 중요합니다. 이러한 노이즈 대책을 위해서는 인덕터를 사용한 적절한 노이즈 대책과 주파수 제어에 대해 확실하게 이해해 두어야 합니다.

전자회로에 의도하지 않은 공진 회로가 포함되는 경우, 공진 주파수에 도달할 때 매우 큰 전류 및 전압이 발생합니다. 따라서, 노이즈 장해가 발생되기 쉬워집니다. 즉 회로에서 의도하지 않은 공진을 최대한 배제하는 것이 중요합니다. 의도하지 않은 공진을 억제하기 위해서는 댐핑 저항을 사용합니다.

또한, 페라이트 비즈를 통해 노이즈를 바이패스함과 동시에 열로 변환하는 방법도 있습니다.

▼페라이트 비즈, 인덕터의 기본 특성과 노이즈 대책의 관계, LPF (Low Pass Filter)로서의 동작 등에 대해서는 하기 URL을 참조하여 주십시오.
https://techweb.rohm.co.kr/know-how/nowisee/8138/

공진 회로에 대한 이해도를 높여, 전자회로의 설계에 활용

공진 회로란, 특정 주파수에서 공진 현상을 일으키는 중요한 전자회로의 일종으로, 대부분의 전기제품 설계에서 품질을 높이기 위해 이용되고 있습니다.
전자부품의 소형화와 고집적화가 가속화됨에 따라 노이즈 대책의 중요성이 높아지고 있으며, 이에 따라 인덕터를 이용한 노이즈 대책에 대한 이해가 중요하게 여겨지고 있습니다. RLC 공진 회로의 이해도를 높이는 것은 인덕터의 자기 공진이나 노이즈 대책에 대한 지혜를 심화시키기 위한 매우 중요한 포인트입니다.
또한, 제품 설계에서 공진 회로의 활용은 노이즈 문제에 대한 대응책에 있어서도 중심이 되는 회로입니다. 본 기사에서 설명한 내용 및 관련된 정보를 참고로 공진 회로를 적절하게 활용하면, 전자회로의 품질을 향상시킬 수 있습니다.