모터 칼럼모터의 PWM 구동 : PWM 주기와 모터의 전기적 시정수의 관계

Brush DC 모터의 PWM 구동 시, 「PWM의 주기를 모터의 전기적 시정수보다 충분히 짧은 주기로 설정해야 한다」는 주의 사항이 있습니다. 여기에서 「충분히 짧은 주기」가 구체적으로 어느 정도인지 설명하겠습니다.

PWM 구동 시 모터의 전기적 시정수에 대해 충분히 짧은 PWM 주기란?

먼저 수치적인 관련성에 대해 설명하겠습니다. 전류 리플치는 Duty 비 m＝0.5일 때가 가장 커지고, 「모터의 전기적 시정수 τ/PWM 주기 tpwm」과 「전류 리플/평균 전류」의 관계는 하기와 같습니다.

상기 표에서, 리플을 5% 이하로 억제하기 위해서는 τ/tpwm은 10배 이상 필요하다는 것을 알 수 있지만, 실제로는 필요한 특성에 맞추어 결정해야 합니다. 수학적으로는, 「모터의 전기적 시정수 τ에 대해 PWM 주기 tpwm이 충분히 짧다」는 것은 tpwm/τ≈0이라고 생각하므로, τ/tpwm>100 정도는 필요하다고 생각합니다.

이를 수식으로 구해보겠습니다. 먼저, Brush DC 모터에 전원전압을 인가한 경우의 등가 회로를 확인해보겠습니다.

모터의 전기적 시정수란, 입력전압에 대한 전류 상승 특성을 나타내는 수치로, 피크 63.2%에 도달하기까지의 시간입니다. 등가 회로가 나타내는 바와 같이, 모터는 전기적으로 저항 R과 인덕턴스 L의 직렬 접속에 모터의 발전 전압 Ec가 추가된 회로입니다. 모터의 전기적 시정수 τ는 L/R로 나타납니다. 이 수치가 작을수록 전류 파형을 빠르게 상승시킬 수 있다는 것을 의미합니다.

모터 발전 전압 Ec＝0V일 때, 모터 등가 회로의 인덕턴스 L과 저항 R에 전압 Ea를 스텝 상태로 인가한 경우의 과도 전류 i의 관계식은 식 (1)과 같습니다.

 L · (di/dt)＋R · i＝Ea ……(1)

이 미분 방정식의 일반해는 식 (2)와 같아지므로,

 i＝Ea/R＋A · exp(－R · t/L)     A : 초기치 ……(2)

t＝0일 때 i＝i_0의 초기치 전류가 흐른다고 가정하면,

 A＝i_0－Ea/R ……(3)

식 (3)이 구해지고,

 i＝(Ea/R) · (1－exp(－R · t/L))＋i_0 · exp(－R · t/L) ……(4)

식 (4)가 됩니다.

다음으로, 하기는 모터 단자 사이를 쇼트하여 전류 회생시킨 경우의 등가 회로입니다.

이 때의 과도 전류 i를 구합니다. i는 식 (2)에서 Ea＝0V일 때,

 i＝A · exp(－R · t/L) ……(5)

식 (5)와 같아지고, t＝0일 때 Brush DC 모터 PWM 구동 과도 전류 파형 τ/tpwm 변화 시에 i_0의 초기치 전류가 흐른다고 가정하면,

 A＝i_0 ……(6)

식 (6)이 구해지고,

 i＝i_0 · exp(－R · t/L) ……(7)

식 (7)이 됩니다.

이러한 식에서 PWM 구동 시의 모터 코일에 흐르는 과도 전류는, 전압 인가 시의 전류를 i_1이라고 하면,

 i_1＝(Ea/R) · (1－exp(－m · tpwm/τ))＋i_01 · exp(－m · tpwm/τ) ……(8)

또한, 모터 단자 사이를 쇼트하여 회생시킬 때에 흐르는 전류를 i_2라고 하면,

 i_2＝i_02 · exp(－(1－m) · tpwm/τ) ……(9)

식 (9)의 지수 함수가 됩니다.

단, Ea : 인가 전압, R : 모터의 등가 저항치, m : ON Duty 비 (＝0~1), tpwm : PWM 주기, τ : 모터의 전기적 시정수 (＝L/R), i_01, i_02 : 각 초기 전류치, 모터의 발전 전압 Ec＝0V입니다.

이러한 과도 전류식으로, 모터의 전기적 시정수에 대해 충분히 짧은 주기의 PWM을 생각하면,

 －m · tpwm/τ≈0 및 －(1－m) · tpwm/τ≈0

이 되어,

 exp(－m · tpwm/τ)≈1 및 exp(－(1－m) · tpwm/τ)≈1

이 되므로,

 i_1≈i_01, i_2≈i_02

가 성립하여, 항상 일정한 전류가 흐릅니다.

 －m · tpwm/τ≈0 및 －(1－m) · tpwm/τ≈0

이 성립하기 위해서는,

 τ/(m · tpwm)>100, τ/((1－m) · tpwm)>100

이 수학적으로는 필요하고, PWM 주기 tpwm으로 생각하더라도,

 τ/tpwm>100

정도는 필요하다고 생각됩니다.

전류 리플에 대해서는 전류 안정 시에 i_2의 초기치가 i_1이 되고, i_2의 결과가 i_1의 초기치 i_0이 되므로, 하기의 3가지 식이 성립됩니다.

 i_1＝(Ea/R) · (1－exp(－m · tpwm/τ))＋i_0 · exp(－m · tpwm/τ) ……(10)

 i_2＝i_1 · exp(－(1－m) · tpwm/τ) ……(11)

 i_2＝i_0 ……(12)

i_1과 i_2가 소거되도록 식을 정리하면, i_0과 m, tpwm, τ의 관계식을 구할 수 있으며, 파라미터를 대입하여 계산하면 각 전류치를 구할 수 있습니다.

이러한 식을 사용하여, 모터 전류가 0A에서 PWM 구동한 경우의 과도 전류 파형 예를 2가지 살펴보겠습니다. 첫번째는 Ea＝12V, R＝6Ω일 때 τ/tpwm＝10, tpwm＝100μs로 m을 변화시켰을 때의 그래프이며, m＝0.5일 때의 리플이 가장 커집니다.

다음 그래프는 Ea＝12V, R＝6Ω은 동일하고, m＝0.5일 때 tpwm을 변경함으로써 τ/tpwm을 변화시킨 예에서 τ/tpwm이 큰 쪽이 리플이 작아집니다.

실제로 전원 접속 시나 모터 단자간 쇼트 시에는 드라이브 회로의 출력 MOSFET의 ON 저항이나 회생 전류가 MOSFET의 기생 다이오드를 경유하여 흐르는 경우 등을 고려해야 합니다.