메쉬 분석이란?

목차

• ・메쉬 분석의 개요
• ・기본 절차 및 예제
• ・행렬 형식으로 메쉬 분석
• ・슈퍼 메쉬의 개념
• ・종속 전원을 포함하는 회로에 적용
• ・노드 분석과의 비교
• ・요약

메쉬 분석 (메쉬 전류법, 루프 전류법)은 배선이 교차하지 않는 평면 회로에서 각 메쉬에 전류를 미지수로 설정하고, 키르히호프 전압 법칙 (KVL)을 이용하여 연립방정식을 세운 뒤 전압 및 전류를 구하는 기본적인 회로 분석 방법입니다. 노드 분석과 함께 대표적인 회로 분석 기법이며, 특히, 전압원이 많은 회로를 효율적으로 분석할 수 있습니다. 이 두 가지 방법을 모두 사용할 수 있다면, 다양한 전기 네트워크를 보다 폭넓게 분석할 수 있습니다. 이번에는 메쉬 분석의 원리와 기본 절차, 그리고 복수 전원 및 종속 전원을 포함하는 복잡한 회로로의 확장 방법에 대해 설명하겠습니다.

메쉬 분석의 개요

메쉬 분석은 대상 회로가 평면 회로라는 것을 전제로 합니다. 각 폐루프 (Closed-Loop)인 메쉬에 미지수인 메쉬 전류를 할당하고, 회로 소자와 전원, KVL을 이용하여 연립방정식을 세웁니다. 대부분의 예제 회로가 평면 회로이므로, 메쉬 분석을 적용하기 쉽다는 것이 특징입니다.

키르히호프 법칙과의 관계

회로 분석의 기본은 키르히호프 전압 법칙 (KVL)과 키르히호프 전류 법칙 (KCL)입니다. 메쉬 분석에서는 주로 KVL을 이용해 각 루프의 식 (루프 전류 방정식)을 세웁니다. 각 메쉬는 독립된 폐경로이므로, 회로 소자에서 발생하는 전압 강하 / 상승을 메쉬 전류나 메쉬 전류의 차이로 표현할 수 있습니다. 위의 그림은 전원을 포함하지 않는 루프에서 KVL의 적용 방법만을 나타낸 예이며, 전원이 없는 루프에서는 KVL 식의 우변이 0이 됩니다. 전원 E를 포함하는 일반형에서는 R∑i₁=E 등의 형태가 되고, 이후의 예제에서는 전원을 포함한 경우를 다룬다는 점에 주의하여 주십시오. 예를 들어, 메쉬가 2개인 회로에서 메쉬 전류를 I₁, I₂라고 가정하면, 각 루프에 KVL을 적용하여 2개의 연립방정식을 얻을 수 있습니다.

메쉬 분석의 장점과 적용 범위

메쉬 분석은 특히 여러 개의 전압원을 포함하는 평면 회로에서 미지수의 수를 줄일 수 있다는 장점이 있습니다. 폐루프를 기준으로 메쉬 전류를 설정하는 이 직관적인 접근 방식은 회로 분석을 처음 학습하는 단계나 설계 초기 단계에서도 이해하기 쉬운 방법입니다.

반면, 입체 배선 등의 비평면 회로에서는 메쉬 정의가 어렵거나 불가능하게 됩니다. 이러한 경우에는 노드 분석 등과 같은 다른 회로 분석 방법을 사용하는 것이 적절합니다.

기본 절차 및 예제

메쉬 분석은 폐루프 주위를 흐르는 메쉬 전류를 정의하고, 각 루프에 대해 KVL을 적용합니다. 이제부터는 STEP 별로 저항과 전압원만 포함된 단순한 회로를 예로 들어, 메쉬 분석의 표준적인 절차를 설명하겠습니다.

STEP 1 : 메쉬 전류 설정

먼저, 회로가 평면 회로인지를 확인한 뒤, 기본 메쉬 (다른 루프를 포함하지 않는 최소 폐경로)마다 메쉬 전류를 임의의 방향으로 설정합니다. 일반적으로, 모든 메쉬 전류를 시계 방향으로 설정하면 부호 처리가 쉬워집니다.

STEP 2 : 각 메쉬에 KVL을 적용

각 메쉬에 대해 KVL을 적용하여 회로 소자에서 발생하는 전압 강하 / 상승을 메쉬 전류로 표현합니다. 이때, 각 회로 소자에서 전류가 흐르는 방향을 고려해야 하며, 루프에 전압원이 포함된 경우에는 전압원의 극성에 주의해야 합니다. 또한, 2개의 메쉬가 하나의 회로 소자를 공유하는 경우, 해당 소자의 전압 강하는 메쉬 전류 간의 차이로 표현됩니다. 이는 2개의 메쉬 전류가 해당 소자 내부에서 서로 다른 방향으로 흐르기 때문입니다.

메쉬 전류 I₁과 I₂를 갖는 2루프 회로를 예로 들겠습니다. 첫 번째 루프에는 저항 R₁, R₂, 전압원 E₁이 있고, 두 번째 루프는 R₂를 첫 번째 루프와 공유하고 저항 R₃가 있다고 가정합니다. 각 루프에 대해 KVL을 적용하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다.

\(R_1 i_1+R_2 (i_1-i_2 )-E_1=0\)

\(R_2 (i_2-i_1 )+R_3 i_2=0\)

구체적인 예 : 2루프 회로

• 메쉬 1 : 저항 R₁=10Ω, 공유 저항 R₂=20Ω, 전압원 E₁=5V
• 메쉬 2 : 공유 저항 R₂=20Ω, 저항 R₃=30Ω
• 메쉬 전류 i₁, i₂를 시계 방향으로 정의

메쉬 1에 KVL :

\(R_1 i_1+R_2 (i_1-i_2 )-E_1=0\)

수치 대입 :

\(10i_1+20(i_1-i_2 )-5=0⟹30i_1-20i_2=5\)（1）

메쉬 2에 KVL :

\(R_2 (i_2-i_1 )+R_3 i_2=0\)

수치 대입 :

\(20(i_2-i_1 )+30i_2=0⟹-20i_1+50i_2=0\)（2）

STEP 3 : 미지 변수의 개수 확인

독립 메쉬가 n개라면, 일반적으로 n개의 메쉬 전류와 n개의 KVL 식을 얻을 수 있습니다. 종속 전원이 있는 경우, 제어 관계식을 추가하여 미지수의 수와 독립 방정식의 개수가 서로 일치하는지 확인해야 합니다.

STEP 4 : 연립방정식 풀기

해의 예
(1), (2)를 풀면

\(i_1≈0.23A,　i_2≈0.091A\)

공유 저항 R₂의 전류는 i₁−i₂≈0.14A, 전압 강하는 약 2.73V입니다.

메쉬 수가 적은 경우에는 대수적 소거법이나 대입법으로도 쉽게 해를 구할 수 있습니다. 그러나 메쉬의 수가 많아지면 방정식의 수가 증가하므로, 방정식을 행렬 형태로 정리한 뒤 선형대수 기법 (또는 회로 시뮬레이터)을 이용하여 해를 구하는 것이 효율적입니다.

행렬 형식으로 메쉬 분석

여러 개의 전압원이 존재하거나 3개 이상의 루프를 갖는 회로에서는 모든 연립방정식을 직접 계산으로 푸는 것이 복잡해질 수 있습니다. 이러한 경우, 방정식을 행렬 형태로 정리한 뒤 표준적인 선형대수 방법 (또는 회로 시뮬레이션 소프트웨어)을 적용하면 보다 체계적으로 해를 구할 수 있습니다. 이제부터 메쉬 분석을 행렬 형태로 표현하는 방법과 그 해를 구하는 절차를 설명하겠습니다.

행렬 형식 설정

행렬 형식의 일반형은 다음과 같습니다.

\(Ax=B\)

• A : 각 메쉬의 합성 저항과 공유 요소를 포함하는 계수 행렬
• x=(i₁, i₂, …, i_n)^T : 메쉬 전류 벡터
• B : 전압원 등 상수항 벡터

2메쉬 예에서는 다음과 같이 변환합니다.

방정식 :

\(30i_1-20i_2=5\)（1）

\(-20i_1+50i_2=0\)（2）

행렬 모양 :

\(\begin{pmatrix} 30 & -20 \\ -20 & 50 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i_1 \\ i_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)

일반식 A, X, B :

\(A=\begin{pmatrix} 30 & -20 \\ -20 & 50 \end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix} i_1 \\ i_2 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)

1. A의 행렬식 :

   \(det(A)=30×50-(-20)×(-20)=1500-400=1100\)

2. A의 역행렬 (2×2는 쉽게 구할 수 있습니다) :

   \(A^{-1}=\displaystyle\frac{　1　}{1100} \begin{pmatrix} 50 & 20 \\ 20 & 30 \end{pmatrix}\)

3. X=A⁻¹B 계산 :

   \(i_1≈0.23A,　i_2≈0.091A\)

앞서 계산한 해와 일치하는 것을 확인할 수 있습니다.

3루프 이상의 메쉬 분석

특정 공유 소자와 전압원을 가지는 3루프 회로는 i₁, i₂, i₃에 대해 풀 수 있는 행렬 방정식으로 표현할 수 있습니다. 이 행렬 방정식을 풀면 회로 내의 임의의 분기 전류 또는 전압 강하를 계산할 수 있습니다.

대규모 회로나 복잡한 회로의 경우, 회로 시뮬레이터 등의 소프트웨어 (MATLAB, Python 등)를 사용하는 것이 더 효율적입니다. 이러한 도구를 이용하면, 행렬식 전개나 가우스 소거법과 같은 선형대수 기반의 계산 방법을 활용하여 회로 방정식을 체계적으로 풀 수 있습니다.

AC 회로로의 확장

저항 R을 복소 임피던스 Z_R=R, 인덕터 L을 Z_L=jωL, 콘덴서 C를 Z_C=1/jωC로 대체하면 동일한 행렬 표현으로 주파수 응답을 구할 수 있습니다.

슈퍼 메쉬의 개념

전류원과 같은 회로 요소가 2개의 메쉬의 경계에 있는 경우, 해당 메쉬에 대해 KVL 방정식을 직접 세우는 것은 어렵습니다. 이때, 일반적으로 슈퍼 메쉬 분석 기법을 사용합니다. 슈퍼 메쉬는 2개의 메쉬를 전류원이 포함된 분기를 제외한 하나의 큰 루프로 결합하여 형성됩니다. 이렇게 결합된 루프에 대해 KVL을 적용함으로써 회로 방정식을 세울 수 있습니다. 다이오드나 트랜지스터 등의 비선형 소자를 포함하는 경우는 동작점에서 선형화하여, 루프 행렬을 매번 갱신하고 수렴시키는 방법 (뉴턴 – 랩슨법) 등을 이용합니다.

슈퍼 메쉬란?

슈퍼 메쉬는 전류원이 2개의 메쉬 사이에 위치할 때 형성됩니다. 전류원에 인가되는 전압은 직접적으로 주어지지 않기 때문에, 단순한 옴의 법칙만으로는 해당 분기에 대한 KVL 식을 작성할 수 없습니다. 따라서, 두 메쉬를 전류원이 포함된 분기를 제외한 하나의 확장된 루프로 간주하고, 그 루프 전체에 대해 KVL을 적용합니다. 그리고 전류원의 값과 관련된 제약식을 추가합니다. 예를 들어, 전류원 I_S 값과 관련된 제약식 (예 : I_S=i₁–i₂)을 추가하여 미지수인 메쉬 전류를 구할 수 있습니다. 이러한 개념은 여러 개의 종속 전류원이 있는 경우에도 동일하게 확장하여 적용할 수 있습니다. 예를 들어, 한 메쉬 전류를 반시계 방향으로 설정하면 표기법이 i₁+i₂=I_S처럼 보일 수 있지만, 이는 i₂의 방향을 다시 설정하면, i₁–i₂=±I_S와 같은 값입니다.

슈퍼 메쉬의 사용 예

메쉬 1과 메쉬 2 사이에 전류 소스 I_S가 있는 경우를 고려하여 메쉬 전류 i₁ 및 i₂를 정의합니다. 전류원이 포함된 분기를 제외하고 두 루프를 결합하면 슈퍼 메쉬가 형성됩니다. 이 슈퍼 메쉬에 대해 KVL 방정식을 하나 작성하고, 동시에 I_S와 같은 전류원 제약식을 추가합니다. 이러한 두 식을 사용하면 i₁과 i₂를 풀기 위한 연립방정식을 얻을 수 있습니다.

종속 전원을 포함하는 회로에 적용

메쉬 분석은 단순한 저항 회로나 전압원 기반 회로에만 적용되는 방법이 아닙니다. 회로가 평면 구조를 유지하거나 슈퍼 메쉬 기법을 적용할 수 있는 경우에는 전류원, 종속 전압원, 종속 전류원을 포함하는 회로에도 적용할 수 있습니다.

독립 전류원

독립 전류원이 루프 내에 완전히 포함되어 있다면 노드 분석으로 전환하거나 루프를 다른 방법으로 처리하는 것이 더 편리할 수 있습니다. 전류 소스가 2개인 메쉬 사이에서 공유되는 경우 슈퍼 메쉬 분석이 필요합니다. 또는, 노드 분석을 통해 미지수의 수를 줄일 수 있는지 여부를 고려할 수 있습니다. 최종적으로는 미지의 메쉬 전류나 루프 방정식이 몇 개인지, 독립적인 방정식이 몇 개 필요한지에 따라 해석 방법을 결정합니다.

종속 전원

종속 전원에는 전압 제어 전압원 (VCVS), 전류 제어 전압원 (CCVS), 전압 제어 전류원 (VCCS), 전류 제어 전류원 (CCCS)의 4가지가 있습니다. 모든 상황에서 출력은 회로의 다른 곳에서 측정된 전압 또는 전류에 따라 다릅니다.

• VCVS, CCVS (종속 전압원) : 루프식에 α×i_x 또는 β×v_x를 더한다.
• VCCS, CCCS (종속 전류원) : 슈퍼 메쉬나 제어 변수식을 추가한다.

이러한 관계식은 연립방정식 또는 행렬 형식에 명시적으로 포함되어야 하며, 부호 규칙과 제어 변수에 주의해야 합니다.

노드 분석과의 비교

메쉬 분석과 노드 분석은 어떤 경우에 어느 방법을 사용하는지에 대한 의문이 종종 제기됩니다.

노드 분석은 키르히호프 전류 법칙 (KCL)을 기반으로 미지수인 노드 전압을 구하는 방법입니다. 메쉬 분석은 키르히호프 전압 법칙 (KVL)을 기반으로 루프 전류를 구하는 방법입니다.

일반적으로, 메쉬 분석은 동일하게 복잡한 회로에서 노드 분석보다 방정식의 수가 적어지는 경우가 많습니다. 특히, 전압원이 많고 회로가 평면 구조인 경우에 유리합니다.

전원의 종류와 배치, 판단 기준

관점	메쉬 분석	노드 분석
기본 법칙	KVL	KCL
유리한 회로	전압원이 많은 평면 회로	전류원이 많은 회로, 비평면 회로
사용이 어려운 경우	비평면 회로, 다수 분포 전류원	전압원 직렬 연결이 복잡한 경우

• 전압원이 많고 평면 회로 → 메쉬 분석이 유리
• 전류원이 많거나 비평면 회로 → 노드 분석이 유리

다만 이러한 기준은 절대적인 것은 아니며, 실제로는 미지수의 수, 전원 배치, 회로 구조 등을 종합적으로 고려하여 적절한 분석 방법을 선택해야 합니다.

요약

메쉬 분석은 배선 교차가 없는 평면 회로에서 특히 효과적인 회로 분석 방법입니다. 전압원이 많은 회로에서는 미지수의 수를 줄일 수 있는 경우가 많으며, 행렬 형태로 정리하면 규모가 큰 회로나 복잡한 회로도 체계적으로 분석할 수 있습니다. 그러나 전류원이 많거나 회로가 비평면 구조인 경우에는 노드 분석과 같은 다른 방법이 더 적합할 수 있습니다. 메쉬 분석과 노드 분석을 모두 이해하고 활용하면 기초 회로 이론 학습부터 실제 회로 설계와 시뮬레이션까지 다양한 상황에 대응할 수 있습니다.