노턴의 정리 : 등가 회로 분석

목차

• ・노턴의 정리 : 등가 회로 분석
• ・노턴의 정리 기본 원리
• ・노턴 등가 회로를 구성하는 요소
• ・노턴의 정리 적용 : 노턴 전류와 노턴 저항을 구하는 절차
• ・노턴의 정리를 이용한 회로 분석 예제
• ・노턴의 정리와 테브난의 정리 비교
• ・종속 전원 및 교류 요소를 포함한 회로에서 노턴의 정리
• ・노턴의 정리 응용 : 최대 전력 전달 및 부하 조정
• ・노턴의 정리와 함께 알아두면 좋은 관련 개념
• ・정리

노턴의 정리 : 등가 회로 분석

노턴의 정리는 복잡한 2단자 회로를 등가 전류원과 병렬 저항으로 대체함으로써 회로 분석을 간단하게 하는 기법입니다. 전압원이나 종속 전원을 포함하는 경우에도, 노턴의 정리를 통해 부하에 흐르는 전류와 전압을 명확하게 구할 수 있으며, 복잡한 회로 설계 공수를 삭감할 수 있습니다. 예를 들어, 노턴의 정리는 회로 설계나 학습 과정에서 자주 다루는 앰프 출력의 평가나 필터 및 증폭 회로의 최적화에도 적용하기 쉽다는 특징이 있습니다.

이번에는 노턴의 정리에 대해 기본 원리부터 구체적인 계산 방법, 그리고 다른 분석 기법과의 차이점까지 알기 쉽게 설명하겠습니다. 또한, 노턴의 정리의 활용 포인트도 함께 정리해 보겠습니다.

노턴의 정리 기본 원리

노턴의 정리에 의하면, 2개의 단자에서 본 임의의 복잡한 선형 회로는 1개의 전류원 (I_N)과 1개의 저항 (R_N)이 병렬로 연결된 회로로 대체할 수 있습니다. 노턴의 정리 증명은 테브난의 정리와 밀접한 관계에 있으며, 상호 변환이 가능하다는 점이 중요한 특징입니다.

「선형 회로」란, 전압과 전류의 관계가 선형으로 유지되는 회로를 의미하며, 일반적으로 저항이나 선형의 독립 전원, 종속 전원 등을 포함합니다. 다이오드나 트랜지스터와 같은 비선형 소자가 포함된 경우에도, 특정 동작점 근처에서는 선형화된 등가 회로를 사용하여 적용할 수 있으나, 이번에는 선형 소자에 초점을 맞춰 설명하겠습니다.

노턴의 정리가 갖는 장점 중 한 가지는, 부하가 연결되는 단자에만 주목하여 복잡한 회로 전체를 2개의 요소로 대체할 수 있다는 점입니다. 그 결과, 부하 저항에 흐르는 전류와 단자 간 전압 계산이 단순해져, 설계자나 학습자에게 유용합니다.

노턴 등가 회로를 구성하는 요소

노턴의 정리를 효과적으로 사용하기 위해서는 등가 회로를 구성하는 요소를 정확히 이해해야 합니다. 노턴 등가 회로는 전류원과 병렬 저항 (R_N) 2개의 요소로 구성됩니다. 이러한 구조를 이해하면, 겉보기에는 복잡한 회로라도 본질을 빠르게 파악할 수 있습니다.

그럼, 노턴의 정리의 핵심 요소인 노턴 전류와 노턴 저항, 그리고 이들의 상호 작용에 대해 설명하겠습니다.

노턴 전류

노턴의 정리를 적용하면, 최종적으로 I_N이라 불리는 이상적인 전류원을 얻게 됩니다. 노턴의 정리에 따르면, I_N은 2개의 단자를 단락 (직접 연결)했을 때 흐르는 전류입니다.

구체적으로는 부하 저항을 이상 도체로 대체하고, 그 도체를 통해 흐르는 전류를 계산하거나 측정합니다.

이상적인 전류원은 단자 전압에 관계없이 일정한 전류 I_N을 공급합니다. 실제 회로 요소가 무한대인 내부 저항을 갖는 것은 아니지만, 이러한 이상화를 통해 계산을 단순화하고 부하와의 상호 작용을 명확하게 이해할 수 있습니다.

노턴 저항

노턴의 정리에서는 전류원과 병렬로 연결된 R_N 저항을 사용합니다.

R_N을 구하기 위해서는, 회로 내의 독립 전원을 모두 0으로 설정합니다. 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 대체합니다. 종속 전원이 있는 경우에는 그대로 남겨 두어야 합니다. 종속 전원은 회로의 다른 부분에 의존하여 동작하기 때문입니다. 이러한 상태에서 동일한 두 단자 사이에 보이는 저항치를 측정하거나 계산하면, 그 값이 R_N입니다.

R_N은 전류원이 부하와 어떻게 상호 작용하는지를 결정하는 중요한 요소입니다. R_N의 역수는 어드미턴스 (Y_N=1/R_N)로 나타낼 수 있으며, G_N=1/R_N을 「노턴 컨덕턴스」라고 부르는 문헌도 있습니다. 병렬 회로를 계산할 때에는 컨덕턴스로 표현하면 편리한 경우가 있으나, 이론적으로는 R_N으로 표현하든 G_N으로 표현하든 동일합니다. 병렬 연결의 관점에서 보면, 부하 저항은 R_N과 병렬로 배치되며, 이는 부하 전압과 부하 전류 계산에 직접적인 영향을 미칩니다.

노턴 등가 회로 개요

노턴 등가 회로는 1개의 전류원 (I_N)과 1개의 저항 (R_N)을 병렬로 연결한 형태로 나타낼 수 있습니다. 이 2개의 요소의 단자는 원래 회로의 부하 연결 단자에 해당합니다.

노턴 등가 회로는 전압원 V_Th와 직렬 저항 R_Th를 사용하는 테브난 등가 회로와는 형태상 다르지만, 두 회로는 서로 변환이 가능합니다.

노턴의 정리 적용 : 노턴 전류와 노턴 저항을 구하는 절차

노턴의 정리를 적용할 때 가장 중요한 것은 노턴 전류 (I_N)와 노턴 저항 (R_N)을 어떻게 계산하는가입니다. 단락 전류를 구하는 방법이나 전원을 0으로 설정하여 저항을 구하는 절차를 이해하면, 다양한 선형 회로를 분석할 수 있습니다. 이번에는 이러한 과정을 순서대로 살펴보고, 예제를 통해 계산 방법도 함께 설명하겠습니다.

노턴 전류를 구하는 방법

1. 분석 대상의 2개의 단자를 단락합니다.
   즉, 부하 저항 R_L을 단락시킵니다.
2. 단락 회로에 흐르는 전류를 회로 방정식이나 회로 분석으로 구합니다.
   키르히호프의 법칙 (KCL, KVL)이나 옴의 법칙, 중첩의 원리 등을 사용할 수 있습니다.
3. 계산된 단락 전류가 I_N입니다.
   이는 노턴 등가 회로에서 이상적인 전류원의 값이 됩니다. 여러 개의 전원이 있는 경우에는, 각 전원이 단락 노드로 보내는 전류를 합산한 값이 노턴 전류가 됩니다.

・예시 (단일 전압원의 경우)

전압원 V_S와 직렬 저항 R_S가 있고, 부하 저항 R_L이 연결되어 있는 매우 간단한 회로를 예로 들겠습니다. R_L의 단자를 단락했을 때의 단락 전류 I_SC는 다음 식으로 구할 수 있습니다.

\(I_{SC} = \frac{V_{S}}{R_{S}}\)

따라서, 다음 식이 성립됩니다.

\(I_{N}=I_{SC}=\frac{V_{S}}{R_{S}}\)

이에 따라, 회로가 1개의 전압원과 직렬 저항만으로 구성된 경우에는, 단락 전류가 단순하게 V_S/R_S가 됩니다. 그러나 여러 개의 전원이나 복잡한 저항 네트워크를 포함하는 회로에서는 단락 후 분석 절차가 더 복잡해지며, 중첩의 원리를 사용하여 최종 단락 전류를 구해야 합니다.

노턴 저항을 구하는 방법

1. 회로 내의 모든 독립 전원을 0으로 설정합니다.
   전압원은 단락, 전류원은 개방으로 대체합니다.
   종속 전원이 있는 경우에는 그대로 유지합니다. 종속 전원은 회로 내의 다른 신호에 따라 동작하기 때문입니다.
2. 동일한 2개의 단자에서 본 저항을 구합니다.
   직렬 및 병렬 저항을 조합하거나, 필요에 따라 노드 분석 등을 사용하여 계산합니다.
3. 계산된 저항치가 R_N입니다.
   이는 노턴 등가 회로에서 병렬 저항이 됩니다.

・예시

앞서 설명한 간단한 예에서 전압원 V_S를 단락하면, 회로에는 R_S만이 보이게 됩니다. 따라서, 2개의 단자 사이에 보이는 저항은 다음과 같습니다.

\(R_{N}=R_{S}\)

이보다 복잡한 저항 네트워크의 경우에도, 동일한 절차에 따라 직렬 및 병렬 합성 또는 분석을 진행하여 최종 저항치를 구합니다.

노턴의 정리를 이용한 회로 분석 예제

노턴의 정리를 개념적으로 이해하는 것뿐만 아니라, 실제 계산과 시뮬레이션에서 어떻게 사용되는지를 확인하는 것도 중요합니다. 이번에는 여러 개의 전원과 저항을 포함하는 회로를 예로 들어, 노턴 등가 회로를 구하는 절차를 단계적으로 설명하겠습니다. 다양한 전압원, 전류원, 부하 조건에서 부하 저항의 전압을 분석하는 기법을 명확히 이해하는데 도움이 될 것입니다.

회로 분석 예제

• 전원 및 내부 저항
  • 전압원 V₁과 저항 R₁은 직렬로 연결되어 있으며, 음극은 노드 B에 연결됩니다.
  • 전압원 V₂와 저항 R₂도 직렬로 연결되어 있으며, 음극은 동일한 노드 B에 연결됩니다.
• 노드 N (상부 결합점)
  • V₁ · R₁과 V₂ · R₂의 양극이 노드 N에서 합류합니다.
• 저항 R₃
  • 노드 N에서 저항 R₃를 통해 노드 A에 연결됩니다.
• 부하 저항 R_L
  • R_L은 노드 A와 노드 B 사이에 연결됩니다.
• 노턴 등가 회로
  • 회로 분석 시에는 R_L을 제거하고, 제거한 A-B의 두 단자에 대해 노턴 등가 회로를 구합니다.

노턴 전류 계산

1. 노턴 단락 조건 설정합니다.

부하 저항 R_L을 제거하고, 단자 A-B를 완전히 단락시킵니다.

이때, 단자 A는 기준 노드 B와 동일한 전위가 되어, 저항 R₃는 노드 N과 기준 노드 B 사이에 삽입된 하나의 저항이 됩니다.

2. 노드 전압 V_N을 구합니다.

노드 N의 전위를 V_N [V]로 설정하고, 전류의 정방향을 「N→상대 노드」라고 정의하면, 각 전류는 다음과 같습니다.

\(I_{1}=\frac{V_{N}-V_{1}}{R_{1}}, I_{2}=\frac{V_{N}-V_{2}}{R_{2}}, I_{3}=\frac{V_{N}-0}{R_{3}}=\frac{V_{N}}{R_{3}}\)

KCL (양의 전류를 N→상대 노드 방향으로 설정하면 ∑유출=0)을 적용하면 다음 식이 성립합니다.

\(I_{1}+I_{2}+I_{3}=0\)

\(\frac{V_{N}-V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{N}-V_{2}}{R_{2}}+\frac{V_{N}}{R_{3}}=0\)

이를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

\(V_{N}\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\right)=\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{2}}{R_{2}}\)

\(V_{N}=\frac{\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{2}}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}}\)

3. 노턴 전류 I_N을 구합니다.

단락 전류 I_N은 R₃를 통해 흐르는 전류와 같습니다.

\(I_{N}=I_{3}=\frac{V_{N}}{R_{3}}=\frac{\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{2}}{R_{2}}}{R_{3}\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\right)}\)

이 식에서 분모를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

\(I_{N}=\frac{V_{1}R_{2}+V_{2}R_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}}\)

・양의 전류 방향은 노드 N→단자 B입니다.

・부호가 붙는 경우는 실제의 전류 방향이 반대 (B→A 방향)입니다.

4. 계산 시 주의점

임의의 R_L을 연결한 경우에는 노턴 전류 I_N과 단자 A-B에서 본 등가 저항 R_N(=R_Th)=R₃+(R₁‖R₂) (독립 전원을 0으로 설정=전압원은 단락, 전류원은 개방)을 사용하여 노턴→테브난으로 변환합니다. 이를 통해, 전류 · 전압의 분포를 쉽게 계산할 수 있습니다.

노턴 저항 계산

R_N을 구하기 위해서는, 독립 전원 V₁과 V₂를 0으로 설정합니다 (전압원은 단락, 전류원은 개방). 그리고 R_L이 연결되어 있던 단자에서 회로를 보았을 때의 저항을 구합니다.

• V₁이 단락되면, R₁의 한쪽 끝은 접지된다.
• V₂가 단락되면, R₂의 한쪽 끝은 접지된다.
• R₃가 어떻게 접지되어 있는지도 확인한다.

회로의 연결 상태를 차근차근 따라가 보면, R₁과 R₂가 병렬로 연결되는지, 또는 R₃와 직렬 · 병렬로 조합되는지를 구별할 수 있습니다. 최종적으로 합성된 저항치가 R_N입니다. I_N과 R_N이 구해지면, 노턴 등가 회로는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다.

\(I_{N}||R_{N}\)

노턴의 정리와 테브난의 정리 비교

노턴의 정리와 더불어, 테브난의 정리는 겉보기에는 서로 다른 형태처럼 보이지만, 실제로는 밀접한 관계에 있습니다. 이번에는 노턴 등가 회로와 테브난 등가 회로가 서로 어떻게 대응하는지 살펴보고, 상황에 따라 어떤 방식을 사용하는 것이 편리한지를 살펴보겠습니다.

노턴의 정리와 테브난의 정리의 관계

테브난의 정리는 「어떤 2단자 선형 회로라도 하나의 전압원 V_Th와 직렬 저항 R_Th로 대체할 수 있다」고 설명합니다. 노턴의 정리는 동일한 회로를 전류원 I_N과 병렬 저항 R_N으로 나타냅니다. 두 정리의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(I_{N}=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}, R_{N}=R_{Th}\)

이론적으로는 항상 R_Th＝R_N이 됩니다. 구체적인 저항 합성이 병렬, 직렬, 또는 그 외의 복잡한 형태이더라도, 최종적인 “값”으로서는 노턴 저항과 테브난 저항이 동일합니다.

어느 방식을 사용할지 판단 포인트

테브난의 정리와 노턴의 정리 모두 회로를 단순화하는 데 도움이 되지만, 회로의 상황에 따라 한쪽이 더 직관적일 수 있습니다.

• 테브난 등가 회로 : 전압원 (V_Th)+직렬 저항 (R_Th)
  • 전압이나 전력에 초점을 맞춰 분석할 때 유용합니다.
  • 부하를 변경했을 때 전압이 어떻게 변화하는지 확인하고 싶은 경우에 편리합니다.
• 노턴 등가 회로 : 전류원 (I_N)+병렬 저항 (R_N)
  • 전류가 어떻게 분배되는지를 분석할 때 적합합니다.
  • 병렬 연결이 많은 회로를 간단하게 분석할 수 있습니다.

회로의 배치에 따라 어느 등가 회로를 사용하는 것이 더 적합한지는 달라집니다.

종속 전원 및 교류 요소를 포함한 회로에서 노턴의 정리

실제 설계나 연구 수준의 회로는 종속 전원 및 교류 요소가 포함되는 경우가 많습니다. 이러한 경우에도 선형성이 유지되면 노턴의 정리를 적용할 수 있습니다. 이번에는 종속 전원이나 주파수 의존 소자가 포함된 회로에서 노턴의 정리를 사용할 때의 주의점에 대해 설명하겠습니다.

종속 전원이 있는 경우

종속 전원 (제어 전원)은 회로 내의 다른 전기량에 의해 값이 결정되는 전압원 또는 전류원입니다.

회로 전체가 선형인 한, 노턴의 정리는 사용할 수 있지만, 독립 전원을 0으로 설정할 때에도 종속 전원은 그대로 유지해야 합니다.

종속 전원은 회로에서 완전히 제거할 수 없습니다. 제어 방정식을 유지한 상태에서 I_N과 R_N을 계산해야 합니다.

주파수 성분

콘덴서나 인덕터가 포함된 경우, 회로는 주파수에 따라 다른 임피던스 특성을 나타냅니다. 노턴의 정리를 교류 분석으로 확장하려면, 각 콘덴서 및 인덕터를 복소 임피던스로 표현해야 합니다.

예를 들어, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}, Z_{L}=j\omega L\)

이와 같이, 회로를 복소수 영역으로 취급합니다. 단락 전류를 구하는 순서나 전원의 0 설정은 복소수를 사용한다는 점을 제외하면 본질적으로 같습니다.

노턴의 정리 응용 : 최대 전력 전달 및 부하 조정

노턴의 정리는 회로의 형태를 단순화할 뿐만 아니라, 부하 조건이 바뀔 때의 전력 전달과 부하 전류 계산 등을 평가하는 데에도 유용합니다. 특히, 잘 알려진 최대 전력 전달 문제는 노턴 등가 회로를 사용하면 직관적으로 이해할 수 있습니다. 이번에는 노턴 등가 회로가 부하 조건을 최적화하거나 전력을 계산할 때 어떻게 활용되는지를 설명하겠습니다.

최대 전력 전달 조건

최대 전력이 부하에 전달되는 조건은, 교류 (복소 임피던스)의 일반적인 경우, 부하 임피던스가 등가 출력 임피던스의 복소 공액 (Complex Conjugate)이 되는 것, 즉, Z_L=Z^*_N (동시에 R_L=R_N, X_L=−X_N)이 성립해야 합니다. 직류 (순저항)에 한정하면, 이 조건은 R_L=R_N으로 간략하게 나타낼 수 있습니다.

설계 시 R_L을 선택하거나 조정할 수 있는 경우, 노턴 등가 회로를 사용하면 회로 분석을 단순화할 수 있습니다. 예를 들어, 앰프의 출력단 등에서 부하를 출력 임피던스에 맞춰 최대 효율을 얻고자 하는 경우가 대표적인 예입니다.

부하 전류의 변화를 신속하게 평가

I_N과 R_N을 이해하면, R_L이 변화할 때 부하 전류가 어떻게 변하는지를 쉽게 파악할 수 있습니다.

\(I_{L}=\frac{I_{N} \times R_{N}}{R_{N}+R_{L}}\)

이는 병렬 회로의 전류 분할에 해당하며, 부하 전압은 다음 식으로 구할 수 있습니다.

\(V_{L}=I_{L} \times R_{L}\)

테브난 등가 회로를 사용해도 동일한 계산은 가능하지만, 전류 분할에 초점을 맞추는 경우에는 노턴 등가 회로가 더 간편한 경우가 많습니다.

노턴의 정리와 함께 알아두면 좋은 관련 개념

노턴의 정리를 이해한 후에는 다른 원리나 정리와 함께 사용하는 것이 실무상 중요합니다. 특히, 여러 개의 전원과 복잡한 연결을 포함하는 회로에서는 밀만의 정리나 중첩의 원리를 이용하면, 문제를 단계적으로 분해하여 분석할 수 있습니다. 이번에는 노턴의 정리와 밀접하게 관련된 몇 가지 관련 개념을 살펴보며 이해를 더욱 넓혀 보겠습니다.

노턴의 정리와 밀만의 정리의 관계

밀만의 정리는 내부 저항을 가진 여러 개의 전압원이 병렬로 연결되었을 때의 합성 전압을 구하는 정리입니다. 노턴의 정리를 적용하는 과정에서도 병렬로 연결된 전류원과 내부 저항을 합성하는 계산이 자주 등장합니다. 이러한 계산 방식은 밀만의 정리를 통해 공식화된 접근법과 매우 유사합니다.

노턴의 정리와 중첩의 원리의 조합

앞에서 언급한 바와 같이, 노턴 전류 (I_N)를 구할 때 여러 개의 독립 전원이 있는 경우에는 중첩의 원리를 사용하는 경우가 많습니다. 각 전원을 단독으로 고려하여 단락 전류를 구하고, 이를 합산하여 I_N을 얻습니다. 소규모 회로에서는 다소 시간이 걸리지만, 절차가 명확하며 노턴의 정리와도 잘 맞는 기법입니다.

비선형 소자의 근사 분석

지금까지는 선형 회로를 가정하여 설명하였으나, 실제 반도체 회로에는 비선형 소자가 포함되는 경우가 일반적입니다. 그럼에도 불구하고, 동작점 부근에서 회로를 선형화하면 노턴 등가 회로를 이용한 근사 분석이 가능합니다. 예를 들어, 트랜지스터의 베이스–이미터 접합을 다이오드로 간주하여 소신호 임피던스를 구하고, 콜렉터 전류를 종속 전원으로 취급하는 등의 방법이 있습니다.

그러나 동작점을 기준으로 여러 영역에 걸치는 큰 진폭의 신호를 처리하는 경우에는, 노턴의 정리를 직접 적용하는 것이 어렵습니다. 이러한 상황에서는 시뮬레이션과 수치 분석을 주로 사용합니다.

정리

지금까지 노턴의 정리에 대해 기본 개념, 등가 회로를 구하는 방법, 테브난의 정리와의 관계, 그리고 복잡한 상황에서의 응용 등을 살펴보았습니다. 마지막으로, 노턴의 정리를 실제로 활용할 때의 공식을 중심으로 중요한 포인트를 정리하겠습니다.

• 노턴의 정리 공식
  • I_N은 단자를 단락했을 때의 단락 전류이다. I_N=I_SC
  • R_N은 독립 전원을 0으로 설정했을 때 보이는 단자간 저항이다.

    부하 전류 : I_L=I_N×R_N/(R_N+R_L)

    부하 전압 : V_L=I_N×(R_N×R_L)/(R_N+R_L)

• 최대 전력 전달 및 부하 조정
  • 최대 전력 전달 조건 (직류 저항의 경우)

    R_L=R_N일 때, 부하에 최대 전력이 전달된다 (교류 회로에서는 Z_L=Z^*_N).

• 테브난의 정리와의 관계
  • 수식 V_Th=I_N×R_N, R_Th=R_N
• 중첩의 원리와 노드 분석을 결합하는 사용법
  • 여러 개의 전원이 있는 경우에는 중첩의 원리를 사용하면 단락 전류를 구하기 쉽다.
• 종속 전원이나 교류 요소에도 적용 가능 (선형성이 유지되는 한)
  • 종속 전원은 그대로 유지한 상태에서 분석
  • 교류 요소는 복소 임피던스로 처리

노턴의 정리는 테브난의 정리와 함께 회로 분석의 대표적인 기초 기법입니다. 노턴의 정리를 학습해두면, 여러 개의 전원이나 부하를 포함한 회로에서도 전압과 전류를 보다 명확하게 파악할 수 있게 됩니다. 앞으로의 회로 설계와 학습에서 활용해 보시기 바랍니다.